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13/09/2015

A ciclóide

Consideremos a curva a verde da animação. A curva é descrita por um ponto $P$ numa circunferência que se desloca, rodando com velocidade uniforme, ao longo do eixo dos $xx$. Esta curva é uma ciclóide.
Ciclóide é a curva definida por um ponto de uma circunferência que roda sem deslizar sobre uma recta.

Uma parametrização

Na figura estão representados, num referencial $o.n$. uma circunferência de centro $C$ e raio $R$,que rodou por um ângulo $t$ sobre o eixo $Ox$
  • $O$, origem do referencial.
  • $C$, centro da circunferência. Inicialmente, antes da rotação, estava em $(0,R)$
  • $P$, ponto da circunferência após uma rotação de ângulo $t$ radianos.
  • $T$, ponto de tangência entre a circunferência e o eixo $Ox$.
  • $P'$, projecção ortogonal de $P$ sobre o segmento $[CT]$
Vamos procurar obter as coordenadas de $P$.
Pela figura temos \begin{eqnarray*} {\overline{OT}}&{=}&{Rt}\\ {\overline{PP'}}&{=}&{R\sen t}\\ {\overline{CP'}}&{=}&{R\cos t} \end{eqnarray*} Logo $P$ tem coordenadas $\left(\overline{OT}-\overline{PP'},R-\overline{CP'}\right)$
Ou seja, \[P=\left(Rt-R\sen t,R-R\cos t\right)\] Assim, uma parametrização da ciclóide gerada por uma rotação completa será \[\gamma(t)=\left(Rt-R\sen t,R-R\cos t\right),\text{ com }t \in [0,2\pi]\] Duas aplicações directas desta parametrização são o cálculo do comprimento da curva e o cálculo da área entre a curva e o eixo $Ox$.

O comprimento da curva

\[s=\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = {8R}\]

A área sob a curva

\[ A = \iint\limits_R {1dxdy = \oint\limits_C {ydx = 3\pi R^2 } } \]
Aqui, $C$ é a curva fechada composta pela ciclóide e o segmento de recta que une o extremo da direita à origem, e a justificação para a passagem no segundo sinal de igual é o teorema de Green, tendo em conta que, com esta parametrização estamos a percorrer a curva no sentido horário (ou seja, sentido negativo).

Desenhar a animação do desenho da curva em calculadoras Casio CG10 ou CG20

A animação do princípio deste post foi gerada recorrendo ao Geogebra.
No entanto, numa sala com alunos pode ser mais conveniente gerar esta animação numa calculadora.
Para desenhar na calculadora, vamos considerar o caso em que $R=1$
  1. No menu principal seleccione o icone de gráficos dinâmicos
  2. Seleccione gráficos paramétricos e introduza as seguintes funções.

    A função a azul desenha a circunferência de centro $(A,1)$ e raio $1$
    A função a verde desenha a ciclóide
    A função a vermelho desenha o ponto vermelho na animação abaixo
  3. Sugiro que se usem os seguintes valores para a janela de visualização

  4. Saindo das definições de janela, pomos $A$ a variar entre $0$ e $4\pi$

  5. No menu speed seleccione a velocidade desejada e mande desenhar.
E voilá, cá temos a animação final.
Para ajustar a velocidade pode ainda tentar ajustar o "step" do segundo ecrã do passo 4.

Por hoje é tudo. Até uma próxima oportunidade.

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