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17/12/2016

Uma potência de um binómio...

Hoje em dia, a capacidade de fazer contas não é considerada essencial para um bom matemático. Eu tenho as minhas reservas quanto a esta afirmação, mas não me apetece debatê-la aqui, e deixar isso para outros.
Quando se trata de potências de números da forma $a\pm b i$, se não quisermos andar com propriedades distributivas, temos duas formas "rápidas" de calcular, sem computadores ou calculadoras, ou quaisquer outras tecnologias: Binómio de Newton ou Fórmula de Moivre.
Qual a melhor?
Comecemos pelo exemplo: \[(2-3i)^5\] Pelo teorema binomial \begin{eqnarray*} (2-3i)^5&{=}&{\sum_{k=0}^{5}{\combin{5}{k}2^{5-k}(-3)^k i^k}}\\ {}&{=}&{(1\cdot 2^5-10\cdot 2^3\cdot 3^2+5\cdot 2^1\cdot 3^4)-i(5\cdot 2^4\cdot 3-10\cdot 2^2\cdot 3^3 +3^5 )}\\ {}&{=}&{(32-720+810)-i(240-1080+243)}\\ {}&{=}&{122-i(-597)}\\ {}&{=}&{122+597i} \end{eqnarray*} Pela fórmula de Moivre:
Comecemos por escrever $2-3i$ na forma polar: \[2-3i=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}-i\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=\sqrt{13}\cdot \cis \alpha\] onde $\alpha$ é um ângulo do quarto quadrante tal que: \[\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}\] e \[\sin \alpha=-\frac{3}{\sqrt{13}}\] E pela fórmula de Moivre temos então que: \[(2-3i)^5=\sqrt{13}^5 \cdot \cis (5\alpha)=\sqrt{13}^5\cos(5\alpha)+i\sqrt{13}^5\sin(5\alpha)\] Tornando esta fórmula pouco prática se se desconhecermos fórmulas para os seno e cosseno de $5 \alpha$, e igualmente trabalhosa se conhecermos as fórmulas...
(Observação: as fórmulas são fáceis de deduzir a partir das formulas do seno e cosseno da soma, e ainda mais pela fórmula binomial...)
No entanto, se o problema fosse, por exemplo, $(1+i)^{10}$, aqui a fórmula de Moivre seria bem útil, pois desta vez, $\alpha$ seria um ângulo que não obriga a conhecer a fórmula do seno ou cosseno de $10 \alpha$: \[(1+i)^{10}=\sqrt{2}^{10}\cis \left(\frac{10\pi}{4}\right)=2^5 \cis \frac{5\pi}{2}=32 \cis \frac{\pi}{2}=32 i\]
E pensar que inicialmente eu pensei em ter este blog apenas para assuntos mais pesados...

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