Uma parametrização para uma faixa de Möbius

Recentemente, depois de ver o filme "Avengers: Endgame", onde a solução de Tony Stark para um problema físico (não vou dar mais spoilers do que o necessário, se quiserem, vão lá ver o filme) passava por uma faixa de Möbius, andei a fazer umas experiências com a faixa de Möbius.
Não me apeteceu utilizar a Wikipedia... apeteceu-me usar o cérebro.

(Algo que até faço quando uso uma calculadora...quem diria, não é?)

Passo 0:

O que é uma faixa/fita de Möbius?

De forma muito simplista, neste post, a minha faixa de Möbius vai ser a superfície descrita por um segmento de recta que percorre uma circunferência enquanto roda meia volta sobre o seu centro.
Vejam a animação seguinte que percebem melhor,  

Se calhar fica melhor se eu mostrar a superfície a ser desenhada:

Portanto, é boa ideia começar por parametrizar um segmento de recta que dá meia volta!

Passo 1: No plano $xOy$ parametrizar um segmento de recta, centrado na origem, que dá meia volta, em torno da origem.

Dados dois pontos distintos do plano ou do espaço, $A$ e $B$, o segmento $[BA]$ pode ser parametrizado por .
\[X=tA+(1-t)B\] com $t \in [0,1]$

Portanto, se, para um ângulo qualquer de amplitude $\alpha$ considerarmos os pontos da circunferência trigonométrica
\[A=(\cos \alpha,\sen \alpha) \] e \[B=(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)) \]. que são simétricos relativamente à origem $O ( 0,0 )$

O segmento é o conjunto dos pontos
\begin{eqnarray*}
{(x,y)}&=&{t\left(\cos \alpha,\sen \alpha)+(1-t)(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)\right)}\\
{}&=&{\left(t\cos \alpha +(1-t)(\cos (\alpha + \pi),(t\sen \alpha +(1-t)(\sen (\alpha + \pi)\right)}
 \end{eqnarray*}
 Para termos a "meia volta" podemos deixar o ângulo $\alpha$ variar entre $0$ e $\pi$.

Mas como a ideia é que o segmento dê meia volta enquanto percorre uma circunferência, então vou substituir o $\alpha$ por um $\displaystyle \frac{\theta}{2}$ com $\theta$ a variar entre $0$ e $2\pi$

Passo 2: Fazer este segmento girar enquanto percorre uma circunferência de raio $R$

No espaço tridimensional $\R^3$ uma circunferência de raio $R$ centrada na origem e contida no plano $z=0$ pode ser parametrizada por \[ (x,y,z)=(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) \] com \[0\leq\theta <2\pi\]
Para obter o efeito desejado, basta ver que a "semivolta" é dada apenas nas componentes $x$ e $z$, portanto, a equação do percurso do segmento de recta tem de ser:
\begin{eqnarray*}
{ (x,y,z)}&=&{(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) + \left(t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right),0,t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) + (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)\right)}\\
{}&=&{\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)}
\end{eqnarray*}
Passo 3: conclusão.
Então uma parametrização para esta faixa de Möbius é
\[ (x,y,z)=\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)\] Com $0\leq t\leq 1$ e $0\leq \theta < 2\pi $.

A animação que se segue foi gerada com estas equações no software Geogebra

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• Percebeu a dedução? Se sim, qual o comprimento do segmento de recta que está a girar? Como ficaria a parametrização para um segmento de comprimento $L$, centrado na origem?
• As funções trigonométricas dos ângulos $\left(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi\right)$ não foram simplificadas de propósito. Se assim o desejar, simplifique a expressão obtida o melhor que conseguir.