Contando divisíveis por 11

Problema
Considere todos os números naturais com quinze algarismos que são constituídos apenas por $3$ e/ou $8$ (por exemplo $333333338888888$ ou $333333333333333$)
Quantos destes números são divisíveis por $11$?

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210

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Proposta de resolução (por Carlos Paulo A. Freitas)
Seja \[N=\overline{a_{15}a_{14}a_{13}...a_{3}a_{2}a_{1}}\] O número $N$ é divisível por $11$ sse o módulo da diferença entre a soma dos algarismos de ordem impar e a soma dos algarismos de ordem par é um múltiplo de $11$.
Por outras palavras, no nosso caso, se \[ \left|S_i-S_p\right|=\dot {11} \] onde $S_i=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11}+a_{13}+a_{15}$ (uma soma com oito parcelas)
e $S_p=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}+a_{14}$ (uma soma com sete parcelas)

Nas condições do enunciado, o valor mínimo para $S_i$ obtem-se quando cada uma das oito parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$.
Assim sendo: \[ 3\times 8\leq S_i \leq 8\times 8 \] Ou seja \[ 24\leq S_i \leq 64 \] Procede-se da mesma forma para $S_p$, ou seja, o valor mínimo para $S_p$ obtem-se quando cada uma das sete parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$ . ( Digam lá que copy-paste não dá jeito a escrever Matemática )
Assim sendo: \[ 3\times 7\leq S_p \leq 8\times 7 \] Ou seja \[ 21\leq S_p \leq 56 \] O valor seguinte possível para $S_p$ é $26$ que corresponde a substituir um $3$ por um $8$ (observe-se que $21-3+8=26$)
O seguinte é $31$, pela mesma razão...
Vemos assim que $S_p=21+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem par.
Ou seja, os possíveis valores para $S_p$ são $21,26,31,36,41,46,51,56$.
Da mesma forma $S_i=24+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem impar.
Então, os possíveis valores para $S_p$ são $24,29,34,39,44,49,54,59,64$.

Se $S_p=21$, para que $S_i-S_p$ seja múltiplo de $11$, o único valor possível para $S_i$ de entre os valores disponíveis é $54$
(pois $54-21=33=3\times 11$)

As fórmulas que dão os $S_p$ e os $S_i$ são de progressões aritméticas de razão $5$.
Então, partindo do par ordenado $(S_p,S_i)=(21,54)$ conseguem-se obter mais dois pares:

\[(26,59) \text{ e } (31,64)\]

Como $64$ é o valor máximo possível para $S_i$, para obter mais pares vamos repetir o processo, mas desta vez começando pelo valor mais baixo possível para $S_i$

Se $S_i=24$, o único valor possível para $S_p$ é $46$.
E tal como anteriormente, partindo deste par ordenado de somas $(S_p,S_i)=(46,24)$ obtêm-se mais duas:

\[(51,29) \text{ e } (56,34)\]
. Como $56$ é o valor máximo possível para $S_p$, obtivemos todos os pares possíveis de somas $(S_p,S_i)$.

Só falta calcular quantos números correspondem a cada par de somas, e somar

$(S_p,S_i)$	Número de 8s em ordem par	Número de 8s em ordem impar	Total de números
$(21,54)$	0	6	$\combin{7}{0}\times \combin{8}{6}=\combin{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=4\times7=28$
$(26,59)$	1	7	$\combin{7}{1}\times \combin{8}{7}=7\times8=56$
$(31,64)$	2	8	$\combin{7}{2}\times \combin{8}{8}=\frac{7\times6}{2}\times1=7\times 3=21$
$(46,24)$	5	0	$\combin{7}{5}\times \combin{8}{0}=\combin{7}{2}\times \combin{8}{8}=21$
$(51,29)$	6	1	$\combin{7}{6}\times \combin{8}{1}=\combin{7}{1}\times \combin{8}{7}=56$
$(56,34)$	7	2	$\combin{7}{7}\times \combin{8}{2}=\combin{7}{0}\times \combin{8}{6}=28$
Total=			$2\times (28+56+21)=2\times105=210$

Nota do autor:
As contagens conseguem ser feitas sem ser necessário recorrer a combinatória...
Problema colocado originalmente no projecto Delfos. (ok... é melhor não resolver muitos problemas deles aqui..)

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Critério de divisibilidade por 11

Teorema
Um número é divisível por $11$ se o módulo da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for divisível por $11$.

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Seja \[N=\overline{a_{m}a_{m-1}...a_{3}a_{2}a_{1}}=\sum\limits_{k = 1}^m {\left( {a_k \cdot 10^{k - 1} } \right)}\] um número natural com $m$ algarismos divisível por $11$.
Considere-se o polinómio de grau $m-1$ na variável $x$. \[ P(x) = \sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot x^{k - 1} } \] então $N=P(10)$. Como $10\equiv (-1) \Mod{11}$, então \[ P(10)\equiv P(-1) \Mod{11} \] Ora, \[ P(-1)=\sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot (-1)^{k - 1} }=S_i-S_p \] Onde $S_i=$ soma dos algarismos de ordem ímpar e $S_p=$ soma dos algarismos de ordem par.
Logo \[ N\equiv (S_i-S_p) \Mod{11} \] Sendo $N$ divisível por $11$ temos então \[ N\equiv 0 \Mod{11} \] e então \[ S_i-S_p\equiv 0 \Mod{11} \] Que é naturalmente equivalente a \[ |S_i-S_p|\equiv 0 \Mod{11} \] e equivalente a dizer que $|S_i-S_p|$ é divisível por $11$

$\blacksquare$

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Notas :

• Na verdade o módulo do teorema é dispensável!
• Considera-se $0$ divisível por $11$ ... e por qualquer número diferente de $0$

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Integração por substituição: seno hiperbólico(II) Integração por substituição: tangente(I)

Exercício Calcular o integral \[ \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{1}{x^2 \sqrt {1 + x^2 } }dx} \] Recorrendo à substituição: $x=\tg t$ ou $x=\sh t$
(Nota: $\sh$ é uma notação para seno hiperbólico ... também se representa por $\sinh$ )

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\[ \frac{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }{3} \]

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Fazendo a substituição $x=\sh t$ temos, \begin{eqnarray*} {t}&{=}&{\arg\sh x}\\ {x}&{=}&{1\Rightarrow t=\argsh(1)}\\ {x}&{=}&{\sqrt 3\Rightarrow t=\argsh(\sqrt 3)} \end{eqnarray*} e \[ \frac{{dx}}{{dt}} = \ch t \] Portanto \begin{eqnarray*} {\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{1}{x^2 \sqrt {1 + x^2 } }dx} }&{=}&{\int\limits_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 } {\frac{1}{\shq t \sqrt {1 + \shq t } }\ch t dt} }\\ {}&{=}&{\int\limits_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 } {\frac{1}{\shq t}dt}}\\ {}&{=}&{\int\limits_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 } {\cosechq tdt}}\\ {}&{=}&{\left[-\cotgh t\right]_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 }}\\ {}&{=}&{\left[-\frac{\ch t}{\sh t}\right]_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 }}\\ {}&{=}&{\left[-\frac{\sqrt {1 + \shq t }}{\sh t}\right]_{\argsh 1}^{\argsh \sqrt 3 }}\\ {}&{=}&{-\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{2}}\\ {}&{=}&{\frac{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }{3}} \end{eqnarray*}

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Fazendo a substituição $x=\tg t$, com $t\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ temos, \begin{eqnarray*} {t}&{=}&{\arctg x}\\ {x}&{=}&{1\Rightarrow t=\frac{\pi}{4}}\\ {x}&{=}&{\sqrt 3\Rightarrow t=\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*} e \[ \frac{{dx}}{{dt}} = \sec^2 t \] Portanto \begin{eqnarray*} {\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{1}{x^2 \sqrt {1 + x^2 } }dx} }&{=}&{\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} } {\frac{1}{\tgq t \sqrt {1 + \tgq t } }\sec^2 t dt} }\\ {}&{=}&{\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} } {\frac{\sec^2 t}{\senq t \sec^2 t\sec t}dt}}\\ {}&{=}&{\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} } \frac{1}{\senq t \sec t }dt}\\ {}&{=}&{\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} } \frac{\cos t}{\senq t }dt}\\ {}&{=}&{\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} }{\cotg t}{\cosec t }dt}\\ {}&{=}&{\left[-\cosec t\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} }}\\ {}&{=}&{-\cosec \frac{\pi}{3} + \cosec \frac{\pi}{4}}\\ {}&{=}&{-\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{2}}\\ {}&{=}&{\frac{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }{3}} \end{eqnarray*}

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Outra 'dedução' da fórmula da exponencial complexa...

Seja $i$ a unidade imaginária, e considere-se a função de variável real \[f(x)= e^{-ix}(\cos x + i \sen x)\] Então \begin{eqnarray*} {f'(x)}&{=}&{-ie^{-ix}(\cos x + i \sen x)+e^{-ix}(-\sen x + i \cos x)}\\ {}&{=}&{e^{-ix}\left[-i(\cos x + i \sen x)+(-\sen x + i \cos x)\right]}\\ {}&{=}&{e^{-ix}\left(-i\cos x + \sen x -\sen x + i \cos x\right)}\\ {}&{=}&{e^{-ix}\times 0}\\ {}&{=}&{0} \end{eqnarray*} Como $f'(x)=0$ então $f(x)=\text{constante}$.
Mas uma vez que $f(0)=e^0(\cos 0+i\sen 0)=1\times 1=1$, ficámos a saber que $\text{constante}=1$, logo \begin{eqnarray*} {}&{}&{e^{-ix}(\cos x + i \sen x)=1}\\ {}&{\Leftrightarrow}&{(\cos x + i \sen x)=e^{ix}}\\ \end{eqnarray*} Portanto \[e^{ix}=\cos x + i \sen x\]

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(Facebook, grupo fechado Física e Matemática)

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Nota: A 'dedução'/motivação está fora do âmbito do actual programa do ensino secundário em Portugal!
Observação Como qualquer 'dedução' da fórmula da exponencial complexa, esta tem os seus problemas.

• Derivar funções com variáveis complexas, bem... vamos ter de assumir que a exponencial de variável complexa, da qual nada sabemos uma vez que estamos a tentar deduzir a expressão, deriva-se como a exponencial real.
• Utilizar a conclusão derivada=0, implica $f$ constante requer algum cuidado!
  Antes da 'dedução' não sabemos sequer qual é o conjunto de chegada da função! Nestas condições teremos legitimidade para usar um corolário do teorema de Lagrange... para intervalos fechados?
• ...

Enfim, é a vida...

Integração por substituição: seno hiperbólico (I)

Exercício
Determinar o valor exacto do integral: \[ \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 + x^2 } dx} \] Exprimir o valor na forma $\sqrt{m}+\arg\sinh{(n)}$, com $m,n\in \N$

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\[\sqrt {2}+\arg \sinh \left( 1 \right)\]

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Começamos por fazer a substituição $x=\sinh u$ então, \begin{eqnarray*} {u}&{=}&{\arg\sinh x}\\ {x}&{=}&{-1\Rightarrow u=\arg\sinh(-1)=-\arg\sinh(1)}\\ {x}&{=}&{1\Rightarrow u=\arg\sinh(1)} \end{eqnarray*} e \[ \frac{{dx}}{{du}} = \cosh u \] Na restante resolução é também útil recordar a fórmula fundamental das funções hiperbólicas \[\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1 \] que $\cosh u>0$    $\forall u \in \R$
e as fórmulas \[\cosh^2 u=\frac{1+\cosh(2u)}{2}\] \[\sinh (2 u) =2\sinh u \cosh u\] Assim sendo, temos que: \begin{eqnarray} {\int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 + x^2 } dx} }&{ =}&{ \int\limits_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)} {\sqrt {1 + \left( {\sinh u} \right)^2 } \cosh udu}}\\ {}&{=}&{ \int\limits_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)} {\cosh ^2 udu} }\\ {}&{=}&{ \int\limits_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)} {\frac{{1 + \cosh \left( {2u} \right)}}{2}du} } \\ {}&{=}&{ \frac{1}{2}\int\limits_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)} {1du} + \frac{1}{4}\int\limits_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)} {2\cosh \left( {2u} \right)du}} \\ {}&{=}&{ \arg \sinh \left( 1 \right) + \frac{1}{4}\left[ {\sinh \left( {2u} \right)} \right]_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)}} \\ {}&{=}&{ \arg \sinh \left( 1 \right) + \frac{1}{4}\left[ {2\sinh \left( u \right)\cosh \left( u \right)} \right]_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)}} \\ {}&{=}&{ \arg \sinh \left( 1 \right) + \frac{1}{4}\left[ {2\sinh \left( u \right)\sqrt {1 + \left( {\sinh u} \right)^2 } } \right]_{ - \arg \sinh \left( 1 \right)}^{\arg \sinh \left( 1 \right)}} \\ {}&{=}&{\arg \sinh \left( 1 \right) + \frac{1}{4}\left( {2\sqrt {1 + 1} + 2\sqrt {1 + 1} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sqrt {2}+\arg \sinh \left( 1 \right) } \end{eqnarray}

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