Pode-se proceder de forma análoga ao que se fez para a secante trigonométrica
Calculemos as primitivas da função secante hiperbólica, recorrendo à substituição \[t = \th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\].
Recorde-se que
\[
\ch x = \displaystyle\frac{{1 + t^2 }}{{1 - t^2 }}
\]
e
\[
\sh x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}
\]
E portanto
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x}} dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{1 - t^2 }{1 + t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 - t^2 }}dt \\
& = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 + t^2} } dt\\
& = & 2\arctg t + C_4\\
& = & 2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4
\end{eqnarray*}
Resultado curioso...
Note-se que \[\left(\sech x\right)'=-\th x \sech x\] e \[\left(\th x\right)'=\sechq x\].
Portanto, multiplicar e dividir por $\th x + \sech x$ não nos conduz a algo como o simpático resultado que temos para a secante trigonométrica...
\begin{eqnarray*}
\int \cosec x dx &=&\int \cosec x \times \frac{\cosec x +\cotg x }{\cosec x +\cotg x }dx\\
{}&{=}&\int \frac{\cosecq x +\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx\\
{}&{=}&{-\int \frac{-\cosecq x -\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C}
\end{eqnarray*}
Exercício: E qual é a primitiva da secante hiperbólica?
Resoluções aqui: http://zonaexacta.blogspot.com/2017/09/a-primitiva-da-secante-hiperbolica.htmlNota: Por abuso de linguagem costumamos dizer "a primitiva" de uma função. No entanto como existe uma primitiva para cada constante $C$, na verdade a designação correcta é "as primitivas" de uma função, ou, "a família de primitivas de...", e só por isso deixei o título no plural. No entanto, no resto do blog, salvo um ou outro caso, manterei o abuso de linguagem.
PS
Problema
Considere a sucessão $(a_n)$ de números reais definida por:
\[a_0 = 1\text{ e } a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}, n \in \N_0 \]
Mostre que $(a_n)$ é uma sucessão de números inteiros positivos e que $a_n\cdot a_{n + 1} - 1$ é, para cada $n \in \N_0$, um quadrado perfeito.
\[a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}>\frac{7a_n}{2}>a_n\]
logo \[a_{n + 2} >a_{n + 1}>a_{n}\] ou seja, $a_{n+2}-a_{n}>0$
\[\Leftrightarrow a_{n + 2} -7a_{n + 1}+ a_{n} = 0 \]
Façamos
\[b_n=a_{n + 1}\]
Então
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{a_{n + 1} = b_n } \\
{b_{n + 1} = 7b_n - a_n }
\end{array}} \right.
\]
Sabe-se que $a_0=1$; $b_0=a_1=5$ são inteiros positivos.
Então, por indução matemática consegue-se provar que o par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
Considere-se a proposição:
O par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
$a_n \leq b_n$
A proposição é verdadeira para $n=0$ como já se viu.
Vamos ver que a propriedade é hereditária:
Assumindo por hipótese que a propriedade é válida para $n$, a relação
\[
a_{n + 1} = b_n
\]
Mostra-nos imediatamente que $a_{n + 1}$ é inteiro positivo.
E a relação $b_{n + 1} = 7b_n - a_n$ diz-nos que $b_{n + 1}$ é inteiro.
Por outro lado $a_n\leq b_n \Leftrightarrow -a_n\geq -b_n$, logo
\[b_{n + 1} = 7b_n - a_n\geq 7b_n - b_n =6b_n\]
Ficando com isto provado que $b_{n + 1}$ é positivo.
Fica assim provada a proposição, e com isto a primeira parte do problema.
Para a segunda parte...
Acima vimos que
\[
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 + 9 = 7a_n a_{n + 1}
\]
isto é equivalente a
\[
\begin{array}{l}
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 = 7a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow a_{n + 1} ^2 + 2a_n a_{n + 1} + a_n ^2 = 9a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow \left( {\displaystyle\frac{{a_{n + 1} + a_n }}{3}} \right)^2 = a_n a_{n + 1} - 1
\end{array}
\]
Assim, para provar que \[ a_n a_{n + 1} - 1 \] é um quadrado perfeito, basta provar que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de 3.
Isso faz-se mais uma vez por indução em $n$
Para $n=0$ temos $a_1+a_0=5+1=6$ que é múltiplo de $3$
Partindo da hipótese que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$ temos que
\[{a_{n + 2} + a_{n + 1} }=7a_{n + 1}-a_n+a_{n + 1}=9a_{n + 1}-(a_{n + 1}+a_n)\]
Que é múltiplo de $3$, pois $9a_{n + 1}$ é múltiplo de $3$ e $a_{n + 1}+a_n$ é múltiplo de $3$ por hipótese.
Assim, ficou provado que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$, para todo o $n\in \N_0$, logo que $a_n a_{n + 1} - 1$ é quadrado perfeito, ficando com isto concluída a resolução do problema.
Nota do autor
Consegue-se reescrever a resolução da primeira parte para não ser necessário a sucessão auxiliar $b_n$.
Comparando ambas as resoluções conclui-se que
\[F_{4n+4}+F_{4n}=3F_{4n+2}\]
Mas isto na verdade, não é nada de especial:
\[F_{N+4}=F_{N+3}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+1}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+2}-F_{N}+F_{N+2}=3F_{N+2}-F_{N}\]
E portanto
\[F_{N+4}+F_{N}=3F_{N+2}\text{ }\forall N \in \N_0\]
em particular é válido para $N=4n$, sendo $n$ um número arbitrário em $\N_0$.
(O resultado é independente da versão da sucessão de Fibonacci $(F_n)$ utilizada).
A sucessão de Fibonacci é definida pela fórmula de recorrência \[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \]
e por duas condições iniciais, que, cuidado, nem sempre são as mesmas.
A expressão geral para a recorrência é
\[ F_{n}=C_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+C_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]
\[F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0\]
A equação característica associada é
\[r^2-r-1=0\]
Que tem como zeros
\[r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
Os valores de $C_1$ e $C_2$ dependem dos valores das condições iniciais.
Note-se que $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$ é o número de ouro, que também nos permite escrever a fórmula de outras formas
Por vezes até generalizam-se os números de Fibonacci a argumentos negativos, recorrendo a estas fórmulas ou à fórmula de recorrência.
Existindo várias fórmulas associadas a números de Fibonacci, é sempre conveniente saber a que versão da sucessão essas fórmulas estão associadas, por forma a evitar erros nos resultados.
Nota
Esta página poderá ser actualizada no futuro.
Problema
Considere todos os números naturais com quinze algarismos que são constituídos apenas por $3$ e/ou $8$ (por exemplo $333333338888888$ ou $333333333333333$)
Quantos destes números são divisíveis por $11$?
Nas condições do enunciado, o valor mínimo para $S_i$ obtem-se quando cada uma das oito parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$.
Assim sendo:
\[
3\times 8\leq S_i \leq 8\times 8
\]
Ou seja
\[
24\leq S_i \leq 64
\]
Procede-se da mesma forma para $S_p$, ou seja, o valor mínimo para $S_p$ obtem-se quando cada uma das sete parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$ . ( Digam lá que copy-paste não dá jeito a escrever Matemática )
Assim sendo:
\[
3\times 7\leq S_p \leq 8\times 7
\]
Ou seja
\[
21\leq S_p \leq 56
\]
O valor seguinte possível para $S_p$ é $26$ que corresponde a substituir um $3$ por um $8$ (observe-se que $21-3+8=26$)
O seguinte é $31$, pela mesma razão...
Vemos assim que $S_p=21+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem par. Ou seja, os possíveis valores para $S_p$ são $21,26,31,36,41,46,51,56$.
Da mesma forma $S_i=24+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem impar. Então, os possíveis valores para $S_p$ são $24,29,34,39,44,49,54,59,64$.
Se $S_p=21$, para que $S_i-S_p$ seja múltiplo de $11$, o único valor possível para $S_i$ de entre os valores disponíveis é $54$
(pois $54-21=33=3\times 11$)
As fórmulas que dão os $S_p$ e os $S_i$ são de progressões aritméticas de razão $5$. Então, partindo do par ordenado $(S_p,S_i)=(21,54)$ conseguem-se obter mais dois pares:
\[(26,59) \text{ e } (31,64)\]
Como $64$ é o valor máximo possível para $S_i$, para obter mais pares vamos repetir o processo, mas desta vez começando pelo valor mais baixo possível para $S_i$
Se $S_i=24$, o único valor possível para $S_p$ é $46$. E tal como anteriormente, partindo deste par ordenado de somas $(S_p,S_i)=(46,24)$ obtêm-se mais duas:
\[(51,29) \text{ e } (56,34)\] . Como $56$ é o valor máximo possível para $S_p$, obtivemos todos os pares possíveis de somas $(S_p,S_i)$.
Só falta calcular quantos números correspondem a cada par de somas, e somar
Nota do autor:
As contagens conseguem ser feitas sem ser necessário recorrer a combinatória...
Problema colocado originalmente no projecto Delfos. (ok... é melhor não resolver muitos problemas deles aqui..)
