Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*}
{a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\
{\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\
{\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}}
\end{eqnarray*}
Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\]
ou, equivalentemente
\[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\]
Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica:
\[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\]
\[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\]
\[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por:
\[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!
(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)
Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.
04/06/2018
Raizes quadradas de um número complexo (I).
Seja $z=a+bi$ com $a$ e $b$ reais tais que $b\neq 0$ e $a^2+b^2\neq 0$, e $i$ a unidade imaginária.
As raízes quadradas de $z$ são os números complexos $w=x+yi$ tais que $w^2=z$, ou seja: \begin{eqnarray*} {(x+yi)^2}&=&{a+bi}\\ {\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi}&{=}&{a+bi} \end{eqnarray*} Portanto \[ x^2-y^2=a \wedge 2xy=b\] Sendo $b\neq 0$ temos que nem $x$ nem $y$ são nulos, portanto temos $y=\displaystyle\frac{b}{2x}$ e então \[x^2-y^2=a \Leftrightarrow x^2-\left(\frac{b}{2x}\right)^2=a\Leftrightarrow 4x^4-4ax^2-b^2=0\] que é uma equação biquadrada e portanto: \[x^2=\displaystyle\frac{4a\pm\sqrt{(4a)^2-4\times4\times(-b^2)}}{2\times4}=\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}\] Note-se que sendo $b\neq0$ a solução com um sinal $-$ não faz sentido e portanto: \[x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\] E então \[y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{\pm2\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}}=\pm\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}\] Ou seja, as raizes quadradas de $z=a+bi$ são complexos da forma \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}i\right)\] se $b=0$ as raízes são da forma $w=\pm \sqrt{a} $.
Note-se que não podemos dizer que a fórmula se mantém válida se $b=0$ pois, se $a<0$ e $b=0$, \[\ReP{w}=2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}=0\] \\ \[\ImP{w}=\pm\displaystyle\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}=\frac{0}{0} \]
Exemplos de aplicação:
Actualização (10/12/2019): Está prevista uma nova edição deste post para breve...
As raízes quadradas de $z$ são os números complexos $w=x+yi$ tais que $w^2=z$, ou seja: \begin{eqnarray*} {(x+yi)^2}&=&{a+bi}\\ {\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi}&{=}&{a+bi} \end{eqnarray*} Portanto \[ x^2-y^2=a \wedge 2xy=b\] Sendo $b\neq 0$ temos que nem $x$ nem $y$ são nulos, portanto temos $y=\displaystyle\frac{b}{2x}$ e então \[x^2-y^2=a \Leftrightarrow x^2-\left(\frac{b}{2x}\right)^2=a\Leftrightarrow 4x^4-4ax^2-b^2=0\] que é uma equação biquadrada e portanto: \[x^2=\displaystyle\frac{4a\pm\sqrt{(4a)^2-4\times4\times(-b^2)}}{2\times4}=\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}\] Note-se que sendo $b\neq0$ a solução com um sinal $-$ não faz sentido e portanto: \[x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\] E então \[y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{\pm2\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}}=\pm\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}\] Ou seja, as raizes quadradas de $z=a+bi$ são complexos da forma \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}i\right)\] se $b=0$ as raízes são da forma $w=\pm \sqrt{a} $.
Note-se que não podemos dizer que a fórmula se mantém válida se $b=0$ pois, se $a<0$ e $b=0$, \[\ReP{w}=2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}=0\] \\ \[\ImP{w}=\pm\displaystyle\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}=\frac{0}{0} \]
Exemplos de aplicação:
- As raízes quadradas de -8+6i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{-8+\sqrt{8^2+6^2}}{2}}+\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{-8+\sqrt{8^2+6^2}}}i\right)=\pm(1+3i)\]
- As raízes quadradas de 3+4i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3+\sqrt{3^2+4^2}}}i\right)=\pm(2+i)\]
- As raízes quadradas de 1+i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt{1^2+1^2}}{2}}+\frac{1\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{1^2+1^2}}}i\right)=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{2}}}i\right)\] Note-se que estes são os valores de $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{8}}$ e $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{8}}$
- Para ter valores de $\cos \frac{\pi}{12}$ e $\sen \frac{\pi}{12}$ basta ver qual a raiz quadrada de $e^{i\frac{\pi}{6}}$ que tem afixo no primeiro quadrante, ou seja, com partes real e imaginária positivas. Ora $e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$, logo a raíz que nos interessa é: \begin{eqnarray*} {w}& = &{\sqrt {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}{2}} + \frac{{\frac{1}{2}\sqrt 2 }}{{2\sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} }}i }\\ {}&=&{ \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{4}} + \frac{2}{{4\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i }\\ {}&=&{\frac{{\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}{2} + \frac{1}{{2\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i}\\ {}&=&{\frac{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}}}{2} + \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} \right)}}i}\\ {}&=&{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}i} \end{eqnarray*} Que nos indica que \[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2 }{4}\] \[ \sen\left(\frac{\pi}{12}\right)= \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2 }{4}\] Foi feito o seguinte cálculo auxiliar: \[ \sqrt {\sqrt 3 + 2} = \sqrt {\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt {\sqrt 3 + \left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + 2\sqrt {\frac{3}{2}} \sqrt {\frac{1}{2}} + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \] \[ = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{3 \times 2}}{{2 \times 2}}} + \sqrt {\frac{{1 \times 2}}{{2 \times 2}}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2} \]
Actualização (10/12/2019): Está prevista uma nova edição deste post para breve...
28/09/2017
As séries de Maclaurin das secantes trigonométrica e hiperbólica
Introdução aos números de Euler
Eu vou começar pela secante trigonométrica.
Sabe-se que \[\sec(x)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}\] como a função cosseno é par, então a função secante é par.
(Caro leitor, se isto não é óbvio, recomendo-lhe que vá ler outra coisa)
Se $f$ é uma função par, então \[f^{(2n+1)}(0)=0,\text{ } \forall n\in\N_0\]
Como $f$ é par, então $f(x)=f(-x)$, logo $f'(x)=-f'(-x)$.
Tomando $x=0$ temos \begin{eqnarray*} {}&{}&{f'(0)=-f'(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f'(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f'(0)=0} \end{eqnarray*} Para $n\in \N_0$, sendo $f$ par, procede-se da mesma forma.
Temos que: \begin{eqnarray*} f^{(2n+1)}(-x)&=&(-1)^{2n+1}f^{(2n+1)}(x)\\ {}&=&{-f^{(2n+1)}(x)} \end{eqnarray*} toma-se $x=0$ e mais uma vez: \begin{eqnarray*} {}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=-f^{(2n+1)}(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f^{(2n+1)}(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=0} \end{eqnarray*}
Isto significa que a expansão em série de MacLaurin da secante será da forma
\[
f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{\left( {2n} \right)} \left( 0 \right)x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}}
\]
Seja $a_n=f^{\left( {2n}\right)}\left( 0 \right)$ onde $f(x)=\sec\left(x\right)$
Como \[\sec(x)\times\cos(x)=1\] (Obviamente... para os valores de $x$ para os quais $\cos(x)\neq 0$ )
Então \[ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right) = 1 \] Pela fórmula da série produto de Cauchy temos que \begin{eqnarray*} {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)}& = &{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( {2n} \right)!\left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }\\ \end{eqnarray*} Portanto \[{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=1\] Como $a_0=\sec\left(0\right)=1$ \[{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=0\] então, para cada $n\in\N_1$ \[\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]}=0\] \[\Leftrightarrow a_n=\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l+1}\right]}\] Fórmula de recorrência que torna mais fácil a dedução dos coeficientes...até sem calculadora!
\begin{eqnarray*} {a_1}&=&{ \combin{2}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{1 - 0+1}=a_0=1}\\ {a_2}&=&{ \combin{4}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{2 - 0+1}+\combin{4}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{2 - 1+1}=-a_0+6a_1=5}\\ {a_3}&=&{ \combin{6}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{3 - 0+1}+\combin{6}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{3 - 1+1}+\combin{6}{4}a_2 \left( { - 1} \right)^{3 - 2+1}=a_0-15a_1+15a_2=1-15+75=61}\\ a_{4}&=&1385\\ a_{5}&=&50521\\ a_{6}&=&2702765\\ {}&{\vdots }&{} \end{eqnarray*} Como \[\ch (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{i\cdot(-i)x}+e^{i\cdot ix}}{2}=\cos(ix)\] então \[\sech (x)=\sec(ix)={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n (ix)^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{(-1)^n{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }\]
[ 3 de Abril de 2018]
Abaixo deixo aqui uma lista dos primeiros números de Euler, gerada em Python. Os números de indice impar são zero, portanto omiti-os. \[ \begin{eqnarray*} {E_{0}}&{=}&{1}\\ {E_{2}}&{=}&{1}\\ {E_{4}}&{=}&{5}\\ {E_{6}}&{=}&{61}\\ {E_{8}}&{=}&{1385}\\ {E_{10}}&{=}&{50521}\\ {E_{12}}&{=}&{2702765}\\ {E_{14}}&{=}&{199360981}\\ {E_{16}}&{=}&{19391512145}\\ {E_{18}}&{=}&{2404879675441}\\ {E_{20}}&{=}&{370371188237525}\\ {E_{22}}&{=}&{69348874393137901}\\ {E_{24}}&{=}&{15514534163557086905}\\ {E_{26}}&{=}&{4087072509293123892361}\\ {E_{28}}&{=}&{1252259641403629865468285}\\ {E_{30}}&{=}&{441543893249023104553682821}\\ {E_{32}}&{=}&{177519391579539289436664789665}\\ {E_{34}}&{=}&{80723299235887898062168247453281}\\ {E_{36}}&{=}&{41222060339517702122347079671259045}\\ {E_{38}}&{=}&{23489580527043108252017828576198947741}\\ {E_{40}}&{=}&{14851150718114980017877156781405826684425}\\ {E_{42}}&{=}&{10364622733519612119397957304745185976310201}\\ {E_{44}}&{=}&{7947579422597592703608040510088070619519273805}\\ {E_{46}}&{=}&{6667537516685544977435028474773748197524107684661}\\ {E_{48}}&{=}&{6096278645568542158691685742876843153976539044435185}\\ {E_{50}}&{=}&{6053285248188621896314383785111649088103498225146815121}\\ {E_{52}}&{=}&{6506162486684608847715870634080822983483644236765385576565}\\ {E_{54}}&{=}&{7546659939008739098061432565889736744212240024711699858645581}\\ {E_{56}}&{=}&{9420321896420241204202286237690583227209388852599646009394905945}\\ {E_{58}}&{=}&{12622019251806218719903409237287489255482341061191825594069964920041}\\ {E_{60}}&{=}&{18108911496579230496545807741652158688733487349236314106008095454231325}\\ {E_{62}}&{=}&{27757101702071580597366980908371527449233019594800917578033782766889782501}\\ {E_{64}}&{=}&{45358103330017889174746887871567762366351861519470368881468843837919695760705}\\ {E_{66}}&{=}&{78862842066617894181007207422399904239478162972003768932709757494857167945376961}\\ {E_{68}}&{=}&{145618443801396315007150470094942326661860812858314932986447697768064595488862902085}\\ {E_{70}}&{=}&{285051783223697718732198729556739339504255241778255239879353211106980427546235397447421}\\ {E_{72}}&{=}&{590574720777544365455135032296439571372033016181822954929765972153659805050264501891063465}\\ {E_{74}}&{=}&{1292973664187864170497603235938698754076170519123672606411370597343787035331808195731850937881}\\ {E_{76}}&{=}&{2986928183284576950930743652217140605692922369370680702813812833466898038172015655808960288452845}\\ {E_{78}}&{=}&{7270601714016864143803280651699281851647234288049207905108309583687335688017641546191095009395592341}\\ {E_{80}}&{=}&{18622915758412697044482492303043126011920010194518556063577101095681956123546201442832293837005396878225}\\ {E_{82}}&{=}&{50131049408109796612908693678881009420083336722220539765973596236561571401154699761552253189084809951554801}\\ {E_{84}}&{=}&{141652557597856259916722069410021670405475845492837912390700146845374567994390844977125987675020436380612547605}\\ {E_{86}}&{=}&{419664316404024471322573414069418891818962628391683907039212228549032921853217838146608053808786365440570254969261}\\ {E_{88}}&{=}&{1302159590524046398125858691330818681356757613986610030678095758242404286633729262297123677199743591748006204646868985}\\ {E_{90}}&{=}&{4227240686139909064705589929214593102933845388672369082676644542650248228369590525634078984302153217507945782396923579721}\\ {E_{92}}&{=}&{14343212791976583406133682640578565858579882148843159111106574955509790196812618254848857854461550714631444034921517907250365}\\ {E_{94}}&{=}&{50817990724580425164559757643090736003482435671513413926813239886828210876247074897752122164140484881907534297068189565042330181}\\ {E_{96}}&{=}&{187833293645293026402007579184179892539001444997005361637080870116823642645755601678579681159136078780812233831035373097528077899745}\\ {E_{98}}&{=}&{723653438103385777657187661736782292986259565181067232760712431055015669043224647591792236141452770950810842191949814198134897708964641}\\ {E_{100}}&{=}&{2903528346661097497054603834764435875077553006646158945080492319146997643370625023889353447129967354174648294748510553528692457632980625125} \end{eqnarray*} \]
Sabe-se que \[\sec(x)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}\] como a função cosseno é par, então a função secante é par.
(Caro leitor, se isto não é óbvio, recomendo-lhe que vá ler outra coisa)
| Notação: $f^{(N)}(a)$ designa a derivada de ordem $N$ de $f$ no ponto $a$. |
Como $f$ é par, então $f(x)=f(-x)$, logo $f'(x)=-f'(-x)$.
Tomando $x=0$ temos \begin{eqnarray*} {}&{}&{f'(0)=-f'(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f'(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f'(0)=0} \end{eqnarray*} Para $n\in \N_0$, sendo $f$ par, procede-se da mesma forma.
Temos que: \begin{eqnarray*} f^{(2n+1)}(-x)&=&(-1)^{2n+1}f^{(2n+1)}(x)\\ {}&=&{-f^{(2n+1)}(x)} \end{eqnarray*} toma-se $x=0$ e mais uma vez: \begin{eqnarray*} {}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=-f^{(2n+1)}(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f^{(2n+1)}(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=0} \end{eqnarray*}
Como \[\sec(x)\times\cos(x)=1\] (Obviamente... para os valores de $x$ para os quais $\cos(x)\neq 0$ )
Então \[ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right) = 1 \] Pela fórmula da série produto de Cauchy temos que \begin{eqnarray*} {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)}& = &{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( {2n} \right)!\left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }\\ \end{eqnarray*} Portanto \[{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=1\] Como $a_0=\sec\left(0\right)=1$ \[{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=0\] então, para cada $n\in\N_1$ \[\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]}=0\] \[\Leftrightarrow a_n=\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l+1}\right]}\] Fórmula de recorrência que torna mais fácil a dedução dos coeficientes...até sem calculadora!
\begin{eqnarray*} {a_1}&=&{ \combin{2}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{1 - 0+1}=a_0=1}\\ {a_2}&=&{ \combin{4}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{2 - 0+1}+\combin{4}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{2 - 1+1}=-a_0+6a_1=5}\\ {a_3}&=&{ \combin{6}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{3 - 0+1}+\combin{6}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{3 - 1+1}+\combin{6}{4}a_2 \left( { - 1} \right)^{3 - 2+1}=a_0-15a_1+15a_2=1-15+75=61}\\ a_{4}&=&1385\\ a_{5}&=&50521\\ a_{6}&=&2702765\\ {}&{\vdots }&{} \end{eqnarray*} Como \[\ch (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{i\cdot(-i)x}+e^{i\cdot ix}}{2}=\cos(ix)\] então \[\sech (x)=\sec(ix)={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n (ix)^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{(-1)^n{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }\]
Os números de Euler
Os números de Euler são uma sucessão $(E_n)$ de números inteiros definida pela série de Maclaurin da secante hiperbólica: \[ \sech x=\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{E_n}{n!}x^n \] Então, tendo em conta o que foi feito até agora neste texto:- Se $n$ é impar então $E_n=0$
- Se $n$ é par então $E_n=(-1)^{n/2}{a_{n/2}}$
- \[E_{2n+1}=0\]
- \[E_{2n}=(-1)^{n}{a_{n}}=\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ \combin{2n}{2l}a_l \left( - 1\right)^{1-l}\right]} =-\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ \combin{2n}{2l} E_{2l}\right]}\]
[ 3 de Abril de 2018]
Abaixo deixo aqui uma lista dos primeiros números de Euler, gerada em Python. Os números de indice impar são zero, portanto omiti-os. \[ \begin{eqnarray*} {E_{0}}&{=}&{1}\\ {E_{2}}&{=}&{1}\\ {E_{4}}&{=}&{5}\\ {E_{6}}&{=}&{61}\\ {E_{8}}&{=}&{1385}\\ {E_{10}}&{=}&{50521}\\ {E_{12}}&{=}&{2702765}\\ {E_{14}}&{=}&{199360981}\\ {E_{16}}&{=}&{19391512145}\\ {E_{18}}&{=}&{2404879675441}\\ {E_{20}}&{=}&{370371188237525}\\ {E_{22}}&{=}&{69348874393137901}\\ {E_{24}}&{=}&{15514534163557086905}\\ {E_{26}}&{=}&{4087072509293123892361}\\ {E_{28}}&{=}&{1252259641403629865468285}\\ {E_{30}}&{=}&{441543893249023104553682821}\\ {E_{32}}&{=}&{177519391579539289436664789665}\\ {E_{34}}&{=}&{80723299235887898062168247453281}\\ {E_{36}}&{=}&{41222060339517702122347079671259045}\\ {E_{38}}&{=}&{23489580527043108252017828576198947741}\\ {E_{40}}&{=}&{14851150718114980017877156781405826684425}\\ {E_{42}}&{=}&{10364622733519612119397957304745185976310201}\\ {E_{44}}&{=}&{7947579422597592703608040510088070619519273805}\\ {E_{46}}&{=}&{6667537516685544977435028474773748197524107684661}\\ {E_{48}}&{=}&{6096278645568542158691685742876843153976539044435185}\\ {E_{50}}&{=}&{6053285248188621896314383785111649088103498225146815121}\\ {E_{52}}&{=}&{6506162486684608847715870634080822983483644236765385576565}\\ {E_{54}}&{=}&{7546659939008739098061432565889736744212240024711699858645581}\\ {E_{56}}&{=}&{9420321896420241204202286237690583227209388852599646009394905945}\\ {E_{58}}&{=}&{12622019251806218719903409237287489255482341061191825594069964920041}\\ {E_{60}}&{=}&{18108911496579230496545807741652158688733487349236314106008095454231325}\\ {E_{62}}&{=}&{27757101702071580597366980908371527449233019594800917578033782766889782501}\\ {E_{64}}&{=}&{45358103330017889174746887871567762366351861519470368881468843837919695760705}\\ {E_{66}}&{=}&{78862842066617894181007207422399904239478162972003768932709757494857167945376961}\\ {E_{68}}&{=}&{145618443801396315007150470094942326661860812858314932986447697768064595488862902085}\\ {E_{70}}&{=}&{285051783223697718732198729556739339504255241778255239879353211106980427546235397447421}\\ {E_{72}}&{=}&{590574720777544365455135032296439571372033016181822954929765972153659805050264501891063465}\\ {E_{74}}&{=}&{1292973664187864170497603235938698754076170519123672606411370597343787035331808195731850937881}\\ {E_{76}}&{=}&{2986928183284576950930743652217140605692922369370680702813812833466898038172015655808960288452845}\\ {E_{78}}&{=}&{7270601714016864143803280651699281851647234288049207905108309583687335688017641546191095009395592341}\\ {E_{80}}&{=}&{18622915758412697044482492303043126011920010194518556063577101095681956123546201442832293837005396878225}\\ {E_{82}}&{=}&{50131049408109796612908693678881009420083336722220539765973596236561571401154699761552253189084809951554801}\\ {E_{84}}&{=}&{141652557597856259916722069410021670405475845492837912390700146845374567994390844977125987675020436380612547605}\\ {E_{86}}&{=}&{419664316404024471322573414069418891818962628391683907039212228549032921853217838146608053808786365440570254969261}\\ {E_{88}}&{=}&{1302159590524046398125858691330818681356757613986610030678095758242404286633729262297123677199743591748006204646868985}\\ {E_{90}}&{=}&{4227240686139909064705589929214593102933845388672369082676644542650248228369590525634078984302153217507945782396923579721}\\ {E_{92}}&{=}&{14343212791976583406133682640578565858579882148843159111106574955509790196812618254848857854461550714631444034921517907250365}\\ {E_{94}}&{=}&{50817990724580425164559757643090736003482435671513413926813239886828210876247074897752122164140484881907534297068189565042330181}\\ {E_{96}}&{=}&{187833293645293026402007579184179892539001444997005361637080870116823642645755601678579681159136078780812233831035373097528077899745}\\ {E_{98}}&{=}&{723653438103385777657187661736782292986259565181067232760712431055015669043224647591792236141452770950810842191949814198134897708964641}\\ {E_{100}}&{=}&{2903528346661097497054603834764435875077553006646158945080492319146997643370625023889353447129967354174648294748510553528692457632980625125} \end{eqnarray*} \]
23/09/2017
As primitivas da secante hiperbólica
Exercício:
Determine uma expressão para \[ \int {\sech x} dx\]
Determine uma expressão para \[ \int {\sech x} dx\]
\[\arcsen \left(\th x\right) +C_1\] ou
\[2\arctg{\left(e^x\right)}+C_2 \] ou \[\arctg{\left(\sh x\right)}+C_3 \] ou \[2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4\]
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{\sechq x}{\sech x}} dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{ (\th x)' }{\sqrt{\sechq x} } }dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{ (\th x)' }{\sqrt{1- \thEL{2} x} } }dx\\
& = & \arcsen \left(\th x\right) + C_1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{2}{e^x+e^{-x}}} dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{ 2e^x }{\left(e^x\right)^2+1 } }dx \\
& = & 2\arctg{\left(e^x\right)}+C_2
\end{eqnarray*}
Ver http://ftp.ist.utl.pt/GAEL/math/integrals/more/sech.htm
Ver http://ftp.ist.utl.pt/GAEL/math/integrals/more/sech.htm
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x} dx} \\
& = & \int {\displaystyle\frac{\ch x }{\chEL{2}x }dx} \\
& = & \int {\displaystyle\frac{\ch x }{\shEL{2}x+1 }dx}\\
& = & \arctg\left(\sh x\right)+C_3
\end{eqnarray*}
Ver http://ftp.ist.utl.pt/GAEL/math/integrals/tableof.htm
Ver http://ftp.ist.utl.pt/GAEL/math/integrals/tableof.htm
Pode-se proceder de forma análoga ao que se fez para a secante trigonométrica
Calculemos as primitivas da função secante hiperbólica, recorrendo à substituição \[t = \th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\]. Recorde-se que \[ \ch x = \displaystyle\frac{{1 + t^2 }}{{1 - t^2 }} \] e \[ \sh x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 - t^2 }} \] E portanto \begin{eqnarray*} \int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x}} dx \\ & = & \int {\displaystyle\frac{1 - t^2 }{1 + t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 - t^2 }}dt \\ & = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 + t^2} } dt\\ & = & 2\arctg t + C_4\\ & = & 2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4 \end{eqnarray*} Resultado curioso...
Note-se que \[\left(\sech x\right)'=-\th x \sech x\] e \[\left(\th x\right)'=\sechq x\]. Portanto, multiplicar e dividir por $\th x + \sech x$ não nos conduz a algo como o simpático resultado que temos para a secante trigonométrica...
Calculemos as primitivas da função secante hiperbólica, recorrendo à substituição \[t = \th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\]. Recorde-se que \[ \ch x = \displaystyle\frac{{1 + t^2 }}{{1 - t^2 }} \] e \[ \sh x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 - t^2 }} \] E portanto \begin{eqnarray*} \int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x}} dx \\ & = & \int {\displaystyle\frac{1 - t^2 }{1 + t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 - t^2 }}dt \\ & = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 + t^2} } dt\\ & = & 2\arctg t + C_4\\ & = & 2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4 \end{eqnarray*} Resultado curioso...
Note-se que \[\left(\sech x\right)'=-\th x \sech x\] e \[\left(\th x\right)'=\sechq x\]. Portanto, multiplicar e dividir por $\th x + \sech x$ não nos conduz a algo como o simpático resultado que temos para a secante trigonométrica...
De uma substituição às primitivas da secante
Da substituição $t = \tg \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)$ até uma primitiva imediata
Calculemos a primitiva da função secante, recorrendo à substituição \[t = \tg \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\]. Recorde-se que \[ \cos x = \displaystyle\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \] e \[ \sen x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \] \begin{eqnarray*} \int {\sec x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\cos x}} dx \\ & = & \int {\displaystyle\frac{1 + t^2 }{1 - t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 + t^2 }}dt \\ & = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 - t^2} } dt\\ & = & \int {\displaystyle\frac{{ - 1}}{{t - 1}}dt} + \int {\displaystyle\frac{1}{{t + 1}}} dt\\ & = & - \ln \left| {t - 1} \right| + \ln \left| {t + 1} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{t + 1}{t - 1}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + 1}}{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - 1}}}\right| + C \end{eqnarray*} Agora procurarei outra forma para esta expressão, por forma a que as funções trigonométricas venham em função de $x$ e não de $\displaystyle\frac{x}{2}$. \begin{eqnarray*} \ln \left| {\displaystyle\frac{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + 1}}{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - 1}}}\right| +C & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} + 1}}{{\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} - 1}}} \right| +C\\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + \cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - \cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}}\right)}}}\right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\left( {\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + \cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}}\right)} \right)^2 }}{{\senq \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - \cos ^2 \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}} \right| + C\\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{1 + 2\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} {{ - \cos \left( x \right)}}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{1 + \sen x}}{{\cos x}}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\sec x + \tg x} \right| + C \end{eqnarray*} A primitiva imediata
Observando o resultado anterior, e recordando as regras de derivação da secante e da tangente, notamos que para primitivar $\sec x$ basta multiplicar e dividir a expressão por $\sec x + \tg x$ \begin{eqnarray*} \int {\sec x dx} & = & \int {\sec x \times\displaystyle\frac{\sec x + \tg x}{\sec x + \tg x}dx}\\ & = & \int {\displaystyle\frac{\sec ^2 x + \sec x\tg x}{\sec x + \tg x} dx}\\ & = & \ln \left| \sec x +\tg x \right| + C \end{eqnarray*} e então, graças à regra de derivação da função composta: \[\int {u'\sec udx = } \ln \left| {\sec u + \tg u} \right| + C\] Regra que pode ser utilizada para primitivar por exemplo... a cosecante :)
Exercício: a partir desta regra, e sabendo que $\cosec x = \sec \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)$ calcule a primitiva da cosecante.
Exercício: E qual é a primitiva da secante hiperbólica?
Resoluções aqui: http://zonaexacta.blogspot.com/2017/09/a-primitiva-da-secante-hiperbolica.html
Nota: Por abuso de linguagem costumamos dizer "a primitiva" de uma função. No entanto como existe uma primitiva para cada constante $C$, na verdade a designação correcta é "as primitivas" de uma função, ou, "a família de primitivas de...", e só por isso deixei o título no plural. No entanto, no resto do blog, salvo um ou outro caso, manterei o abuso de linguagem.
PS
Calculemos a primitiva da função secante, recorrendo à substituição \[t = \tg \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\]. Recorde-se que \[ \cos x = \displaystyle\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \] e \[ \sen x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \] \begin{eqnarray*} \int {\sec x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\cos x}} dx \\ & = & \int {\displaystyle\frac{1 + t^2 }{1 - t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 + t^2 }}dt \\ & = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 - t^2} } dt\\ & = & \int {\displaystyle\frac{{ - 1}}{{t - 1}}dt} + \int {\displaystyle\frac{1}{{t + 1}}} dt\\ & = & - \ln \left| {t - 1} \right| + \ln \left| {t + 1} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{t + 1}{t - 1}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + 1}}{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - 1}}}\right| + C \end{eqnarray*} Agora procurarei outra forma para esta expressão, por forma a que as funções trigonométricas venham em função de $x$ e não de $\displaystyle\frac{x}{2}$. \begin{eqnarray*} \ln \left| {\displaystyle\frac{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + 1}}{{\tg\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - 1}}}\right| +C & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} + 1}}{{\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} - 1}}} \right| +C\\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + \cos \left({\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}{{\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - \cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}}\right)}}}\right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{\left( {\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) + \cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}}\right)} \right)^2 }}{{\senq \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right) - \cos ^2 \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}}} \right| + C\\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{1 + 2\sen\left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\displaystyle\frac{x}{2}} \right)}} {{ - \cos \left( x \right)}}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\displaystyle\frac{{1 + \sen x}}{{\cos x}}} \right| + C \\ & = & \ln \left| {\sec x + \tg x} \right| + C \end{eqnarray*} A primitiva imediata
Observando o resultado anterior, e recordando as regras de derivação da secante e da tangente, notamos que para primitivar $\sec x$ basta multiplicar e dividir a expressão por $\sec x + \tg x$ \begin{eqnarray*} \int {\sec x dx} & = & \int {\sec x \times\displaystyle\frac{\sec x + \tg x}{\sec x + \tg x}dx}\\ & = & \int {\displaystyle\frac{\sec ^2 x + \sec x\tg x}{\sec x + \tg x} dx}\\ & = & \ln \left| \sec x +\tg x \right| + C \end{eqnarray*} e então, graças à regra de derivação da função composta: \[\int {u'\sec udx = } \ln \left| {\sec u + \tg u} \right| + C\] Regra que pode ser utilizada para primitivar por exemplo... a cosecante :)
Exercício: a partir desta regra, e sabendo que $\cosec x = \sec \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)$ calcule a primitiva da cosecante.
\[\int \cosec x dx=- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C\]
\[\int u' \cosec u dx=- \ln \left| \cosec u +\cotg u \right| + C\]
\begin{eqnarray*}
\int \cosec x dx &=&\int \sec \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) dx\\
{}&{=}&{-\int -\sec \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) dx}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \sec \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) +\tg \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) \right| + C}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\int \cosec x dx &=&\int \cosec x \times \frac{\cosec x +\cotg x }{\cosec x +\cotg x }dx\\
{}&{=}&\int \frac{\cosecq x +\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx\\
{}&{=}&{-\int \frac{-\cosecq x -\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C}
\end{eqnarray*}
Exercício: E qual é a primitiva da secante hiperbólica?
Resoluções aqui: http://zonaexacta.blogspot.com/2017/09/a-primitiva-da-secante-hiperbolica.html
Nota: Por abuso de linguagem costumamos dizer "a primitiva" de uma função. No entanto como existe uma primitiva para cada constante $C$, na verdade a designação correcta é "as primitivas" de uma função, ou, "a família de primitivas de...", e só por isso deixei o título no plural. No entanto, no resto do blog, salvo um ou outro caso, manterei o abuso de linguagem.
PS
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