Quantos algarismos tem um número natural?

Recentemente, perguntei a alguém se sabia me dizer quantos algarismos tem $2^{2020}$, quando escrito na forma usual (na nossa base 10).
Permiti que usasse calculadora :)
Não foi a primeira vez que fiz este tipo indecente de perguntas a alguém.
Principalmente, porque já sabia responder a isto desde o meu secundário!
[Eh! Não é show-off! Não gosto de show-off! É só para perceberem que não precisam de "conhecimentos avançados"!].

Por exemplo podem ler o texto que escrevi em 2017 no blog carlospaulices:

CarlosPaulices no século XXI: o número de algarismos...

Como atacar o problema?
Hoje, exponho o raciocínio que me ocorreu há cerca de 25 anos, a fórmula, a dedução da fórmula e finalmente a resposta à questão com que iniciei este texto.
Pensemos num número natural ao acaso.
Por exemplo no número $1977$ (ano muito importante: estreou o Star Wars... e só por mero acaso, também foi o ano em que eu nasci)
Em notação científica este número escreve-se: \[1977=1,977\times 10^3\] Como é óbvio, aquele 3 do expoente do 10 está relacionado com o número de algarismos do número 1977.
Vamos tentar com outro número natural ao acaso, que, insisto, só por acaso, me passou pela cabeça: \[13121977=1,3121977\times 10^7\] Estou a notar um padrão. Parece que o número de algarismos, $n_a(N)$ é o expoente daquele 10, somado de uma unidade.
Expoente do 10? Isso não parece um logaritmo de base 10?
\[\log_{10} 13121977=\log_{10} \left(1,3121977\times 10^7\right)=\log_{10}1,3121977+\log_{10} 10^7=\log_{10}1,3121977+7\] Aquele logaritmo de $1,3121977$ está entre 0 e 1... e isso vai acontecer sempre (Se há 25 anos eu sabia porquê, se você sabe o que é um logaritmo, também sabe porquê).
Isso quer dizer que a parte inteira do logaritmo base $10$ de $13121977$ é $7$
Hoje em dia, eu escrevo isso assim: \[ \left\lfloor {\log _{10} 13121977} \right\rfloor = 7 \] (na altura, eu escrevia como está no blog carlospaulices, porque há 25 anos era a notação da minha calculadora e eu não conhecia outra)
Ou seja, tinha chegado à fórmula $n_a-1=\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor$, ou equivalentemente:
\[n_a=1+\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor\] Isto é bonito... consegue-se demonstrar? Sim, mas vou deixar como exercício!
Pronto, se for muito preguiçoso, ou não tiver ideias, pode ver a minha demonstração clicando neste botão:

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Seja $N$ um número natural com $n_a$ algarismos em base 10. Isso quer dizer que o número se escreve na forma \[N=a_{n_a}a_{n_a-1}\cdots a_1\] onde os $a_i$, com $i\in \{1,...,n_a\}$ são algarismos entre 0 e 9, exceptuando o $a_{n_a}$, que é um algarismo entre 1 e 9.
Outra forma de escrever isto é : \[N=a_1+ a_2\times10+a_3\times10^2+\cdots+a_{n_a}\times10^{n_a-1}\] Escrever o número em notação científica na verdade significa colocar o $10^{n_a-1}$ em evidência! \[N=10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)\] Assim sendo \begin{eqnarray*} {\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}}+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor n_a-1+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{ n_a-1 } \end{eqnarray*} Assim sendo, \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}=n_a-1\] Ou, equivalentemente: \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor+1}=n_a\]

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Com esta fórmula, já consegue determinar o número de algarismos de $2^{2020}$?
Os meus ex-alunos e ex-explicandos a quem propus coisas semelhantes conseguiram:

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\[n_a=1+\left\lfloor \log_{10}2^{2020}\right\rfloor=1+\left\lfloor 2020\log_{10}2\right\rfloor=609\]

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Se percebeu o que acabei de escrever, então, certamente conseguirá concluir que o número de algarismos de um número natural numa base $b>1$, natural, será dado pela fórmula: \[n_a={\left\lfloor \log_{b} N\right\rfloor+1}\]

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Exercício: Quantos algarismos tem o factorial de $1977$ ? (número escolhido ao acaso...)

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\[5660\]

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Pista/sugestão: qualquer calculadora decente actual tem logaritmos base 10... e somatórios! (Sim, as outras são indecentes!)

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Uma fórmula simples e útil no m.r.u.v.

Num movimento rectilíneo uniformemente variado (ou seja, $a$ constante) é válida a fórmula: \[v^2-v_0^2=2a\Delta x\] Consegue deduzi-la?

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\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = x_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2 } \\ {v = v_0 + at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x - x_0 = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{1}{2}at} \right)t} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{{v - v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {\displaystyle\frac{{v + v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \displaystyle\frac{{\left( {v + v_0 } \right)\left( {v - v_0 } \right)}}{2a}} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a\Delta x = v^2 - v_0 ^2 } \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \]

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PS: Não faço ideia se esta fórmula é permitida no exame de FQ do ensino secundário. Como manda o bom senso, não utilizem fórmulas sem antes confirmar se as podem usar com o vosso professor.

O seno de 18º

Esta ocorreu-me ao olhar para uma estrela de 5 pontas, neste Natal.
Há uns bons anos, partindo de "uma estrela regular de 5 pontas" (não vamos discutir a precisão matemática desta designação, ok?), ocorreu-me uma forma de deduzir o cosseno de $36^{\circ}$. Está em https://cpaulof2.blogspot.com/2013/06/o-numero-de-ouro-parte-3-o-pentagrama-e.html.
Nesse post, eu mostrei que \[\cos 36^{\circ}=\frac{\phi}{2}\] onde $\phi$ é o número de ouro \[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] Ora, uma fórmula que acabo por utilizar sempre que me aparecem alunos a pedir explicações de cadeiras que envolvem cálculo integral é
\[{\sen}^{2} \alpha=\frac{1-\cos (2\alpha)}{2}\] (um dia destes anexo uns formulários de trigonometria e de séries ao blog...)
Com umas pequenas manipulações algébricas escreve-se \begin{eqnarray*} {{\sen}^{2} 18^{\circ}}&=&{\frac{1-\cos 36^{\circ}}{2}}\\ {}&=&{\frac{1-\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}}\\ {}&=&{\frac{4-1-\sqrt{5}}{8}}\\ {}&=&{\frac{3-\sqrt{5}}{8}} \end{eqnarray*} Vou tentar transformar $\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ no quadrado de um número positivo. \begin{eqnarray*} {\frac{3-\sqrt{5}}{8}}&=&{\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\\ {}&=&{\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}\\ {}&=&{\frac{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+1^2}{4^4}}\\ {}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} \end{eqnarray*} Conclusão: \[\sen 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\]

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Feliz Natal

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Podem ver uma demonstração alternativa, e que se pode apresentar a alunos do ensino secundário em: https://www.youtube.com/watch?v=_00oskWLtII.
Hoje em dia encontra-se de tudo no youtube... mas eu pertenço à velha escola: Prefiro pensar e fazer eu...

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Curiosidade diabólica(26/12/2019) \begin{eqnarray*} {\sen 666^{\circ}}&=&{\sen 306^{\circ}}\\ {}&=&{\sen -54^{\circ}}\\ {}&=&{-\sen 54^{\circ}}\\ {}&=&{-\cos 36 ^{\circ}}\\ {}&=&{-\frac{\phi}{2}} \end{eqnarray*}

Uma curiosidade sobre a constante de Euler-Mascheroni

Em explicações, às vezes aparecem-nos coisas que desconhecíamos, ou que não tínhamos notado até esse momento.
Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
\[\gamma=-\Gamma'(1)\]
Onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de $\gamma$, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.

Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).

https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4

Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :

\[\gamma  = \lim\limits_{n\to \infty} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  - \ln n} \right)\]

E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass

\[
\frac{1}{{\Gamma \left( x \right)}} = xe^{  \gamma x} \prod\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {1 + \frac{x}{k}} \right)e^{ - \frac{x}{k}} }
\]

Como função auxiliar vou introduzir a função digama, $\psi$ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é

\[
\psi (x): = \left( {\ln \Gamma \left( x \right)} \right)^\prime   = \frac{\Gamma '\left( x \right)}{\Gamma \left( x \right)}
\]

Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
\[
 - \ln \Gamma \left( x \right) = \ln x +\gamma x + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left[ {\ln \left( {\frac{{k + x}}{k}} \right) - \frac{x}{k}} \right]}
\]

Derivando ambos os membros temos
\[ - \psi \left( x \right) = \frac{1}{x} + \gamma  + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } \left[ \frac{1}{k + x}- \frac{1}{k} \right] \]
Para $x=1$ temos \[ -\frac{\Gamma '\left( 1 \right)}{\Gamma \left( 1 \right)} = 1 + \gamma + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty }\left[ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k} \right] \]

Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para $-1$ e $\Gamma(1)=0!=1$

Sai 

\[-\Gamma'(1)=\gamma\]

$\blacksquare$

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PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)

Uma dedução das fórmulas do movimento rectilíneo uniformemente variado

Está na moda a (errada) filosofia de que as demonstrações só interessam aos matemáticos. Sem provas pregam-se dogmas, e não ciência. Biologia, Física, Geologia, Matemática, Química são ciências e não religiões. Uma formação científica decente deve ser capaz de dar demonstrações aos alunos, sem se tornar maçadora e aborrecida.

Hoje vou partir da definição de "movimento rectilíneo uniformemente variado" e deduzir as equações da velocidade e das posições, sem recorrer explícitamente ao cálculo integral.
[Esta prova ocorreu-me ontem num esclarecimento de dúvidas de Física de 11º... porque a vi quando eu estava no meu ensino secundário]

movimento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) é um movimento rectilíneo em que a aceleração é constante e tem um valor $a$.

Se é constante, a aceleração média é também constante e igual ao mesmo valor $a$, ou seja
\[\frac{\Delta v}{\Delta t} =a \]
Isso significa que se o objecto inicia o movimento no instante $t=0$ com velocidade $v_0$, noutro instante $t$ terá velocidade $v$, cuja fórmula pode ser facilmente deduzida:
\begin{eqnarray*} {\frac{\Delta v}{\Delta t} =a}{\Leftrightarrow}{\frac{v-v_0}{t-0} =a}\\ {}{\Leftrightarrow}{v-v_0=at}\\ {}{\Leftrightarrow}{v=v_0+at} \end{eqnarray*}

Portanto a equação das velocidades é \[v=v_0+at\]
Num gráfico velocidade-tempo, esta velocidade é uma função afim, ou seja, tem o gráfico de uma recta.

A área entre o gráfico da velocidade e o eixo dos "$t$" dá-nos a variação de posição $\Delta x$ (porquê?).

E assim, para deduzirmos a equação do movimento basta recordar e aplicar a fórmula da área do trapézio:
\[A= \frac{B+b}{2}\times h\]
Onde $B$ e $b$ são as bases e $h$ a altura do trapézio.
Portanto \[\Delta x=\frac{(v_0+at)+v_0}{2}\times t=v_0t+\frac{1}{2}at^2\] Assumindo que no instante $t$ o objecto está na posição $x$ e no instante $t=0$ estava na posição $x_0$, temos \[x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2\]
Ou seja \[x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\]
Que é a equação do movimento do objecto.