O número de divisores, a soma e o produto dos divisores naturais de um número natural

Recentemente encontrei um problema num dos meus programas de calculadora dos anos 90 a correr numa máquina actual. Na verdade o "problema" deve-se a ter sido escrito numa máquina diferente, e ao fabricante (a CASIO) ter feito algumas modificações nas calculadoras.
Problema facilmente resolúvel. O programa chama-se "números" e uma vez introduzido um número natural dá ao utilizador a decomposição em factores primos, a função $\varphi$ de Euler, o número de divisores, a soma dos divisores e o produto dos divisores, e como bónus até podia mostrar todos os divisores do número.
O programa foi escrito para me servir de apoio numa disciplina de Teoria dos Números, visto que na altura eu estava com um sério problema de saúde e tinha sérios problemas em concentrar-me (aliás, foi nesse ano em que pela primeira vez tive de desistir numa frequência e deixar para exame).

A função $\varphi$ de Euler, dá, para cada natural $n$ o número de números naturais entre 1 e $n-1$ (inclusive) que é coprimo com $n$, ou, por outras palavras, \[ \varphi(n)= \#\left\{m\in \N_1:m<n \land \left(m \text{ e } n \text{ são primos entre si }\right)\right\}\]
Abaixo vou propor um exercício sem indicar as fórmulas para o resolver, e que é rapidamente resolvido por esse programa de calculadora

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Exercício:
Considere o número $n=25401600$. Para este número determine:

• Decomposição de $n$ em factores primos
• número de divisores de $n$
• soma dos divisores de $n$
• produto dos divisores de $n$
• $\varphi(n)$
• Os divisores de $n$

• Decomposição de $25401600$ em factores primos:
  $25401600=2^8\times3^4\times5^2\times7^2$
  

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  $25401600$	$2$
  $12700800$	$2$
  $6350400$	$2$
  $3175200$	$2$
  $1587600$	$2$
  $793800$	$2$
  $396900$	$2$
  $198450$	$2$
  $99225$	$3$
  $33075$	$3$
  $11025$	$3$
  $3675$	$3$
  $1225$	$5$
  $245$	$5$
  $49$	$7$
  $7$	$7$
  $1$

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• O número de divisores de $25401600$ é $405$
  

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  número de divisores de $25401600$ = $\tau(25401600)=(8+1)\times(4+1)\times(2+1)\times(2+1)=405$

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• soma dos divisores de $25401600$: $109255377$
  

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  soma dos divisores de $25401600$ = $\displaystyle\frac{2^{8+1}-1}{2-1}\times\displaystyle\frac{3^{4+1}-1}{3-1}\times\displaystyle\frac{5^{2+1}-1}{5-1}\times\displaystyle\frac{7^{2+1}-1}{7-1}=109255377$

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• produto dos divisores de $25401600 \approx 3,050473527\times 10^{1499}$:
  

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  produto dos divisores de $25401600$ = $25401600^{\frac{\tau(25401600)}{2}}=25401600^{\frac{405}{2}}=\\ 3050473527291822531740041345293141334639821433214236708667640373777187466846318630194\\ 9487298892807258697738201087769997689322881899874797172563978299167031514727744821435\\ 3785218826732663217210386436311097076444607289013988610404724784345668111668186460126\\ 9755883592179122020126123180126841834726986839920892479831881375115138978330538550274\\ 8162513638371583118781073185971083062975611933081110856507983196894999341496394996509\\ 3122171965532585683279551649783233634875314042656032015349875338898739359449069030654\\ 4622884131846965196597429175359622576520634929794994536897916292205148207319758296280\\ 8761845614002132058673973259309044737132095162540601973927995102974372145280524186218\\ 4767447352454155282281847316301542497360257699942103612325756704426945835441772896564\\ 4149847241035507859817472009316357318712266669730563110807016171044701603460590155380\\ 6797553649708463435983769227152753101366622137813294565298246991679701906184276978850\\ 6889738588331844184392532814011815755326497291985162421953577246183809913211380900800\\ 4097694439501323737492915590833287001263683936187738812398146247639422730240000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
  \approx 3,050473527\times 10^{1499}$

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• $\varphi(25401600)=5806080$
  

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  $\varphi(25401600)=2^{8-1}(2-1)\times3^{4-1}(3-1)\times5^{2-1}(5-1)\times7^{2-1}(7-1)=5806080$

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• $D_{25401600}=\left\{\right.$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 126, 128, 135, 140, 144, 147, 150, 160, 162, 168, 175, 180, 189, 192, 196, 200, 210, 216, 224, 225, 240, 245, 252, 256, 270, 280, 288, 294, 300, 315, 320,324, 336, 350, 360, 378, 384, 392, 400, 405, 420, 432, 441, 448, 450, 480, 490, 504, 525, 540, 560, 567, 576, 588, 600, 630, 640, 648, 672, 675, 700, 720, 735, 756, 768, 784, 800, 810, 840, 864, 882, 896, 900, 945, 960, 980, 1008, 1050, 1080, 1120, 1134, 1152, 1176, 1200, 1225, 1260, 1280, 1296, 1323, 1344, 1350, 1400, 1440, 1470, 1512, 1568, 1575, 1600, 1620, 1680, 1728, 1764,1792, 1800, 1890, 1920, 1960, 2016, 2025, 2100, 2160, 2205, 2240, 2268, 2304, 2352, 2400, 2450, 2520, 2592, 2646, 2688, 2700,2800, 2835, 2880, 2940, 3024, 3136, 3150, 3200, 3240, 3360, 3456, 3528, 3600, 3675, 3780, 3840, 3920, 3969, 4032, 4050, 4200, 4320, 4410, 4480, 4536, 4704, 4725, 4800, 4900, 5040, 5184, 5292, 5376, 5400, 5600, 5670, 5760, 5880, 6048, 6272, 6300, 6400,6480, 6615, 6720, 6912, 7056, 7200, 7350, 7560, 7840, 7938, 8064, 8100, 8400, 8640, 8820, 8960, 9072, 9408, 9450, 9600, 9800,10080, 10368, 10584, 10800, 11025, 11200, 11340, 11520, 11760, 12096, 12544, 12600, 12960, 13230, 13440, 14112, 14175, 14400, 14700, 15120, 15680, 15876, 16128, 16200, 16800, 17280, 17640, 18144, 18816, 18900, 19200, 19600, 19845, 20160, 20736, 21168, 21600, 22050, 22400, 22680, 23520, 24192, 25200, 25920, 26460, 26880, 28224, 28350, 28800, 29400, 30240, 31360, 31752, 32400, 33075, 33600, 34560, 35280, 36288, 37632, 37800, 39200, 39690, 40320, 42336, 43200, 44100, 44800, 45360, 47040, 48384, 50400, 51840, 52920, 56448, 56700, 57600, 58800, 60480, 62720, 63504, 64800, 66150, 67200, 70560, 72576, 75600, 78400, 79380, 80640, 84672, 86400, 88200, 90720, 94080, 99225, 100800, 103680, 105840, 112896, 113400, 117600, 120960, 127008, 129600, 132300, 134400, 141120, 145152, 151200, 156800, 158760, 169344, 172800, 176400, 181440, 188160, 198450, 201600, 211680, 226800, 235200, 241920, 254016, 259200, 264600, 282240, 302400, 313600, 317520, 338688, 352800, 362880, 396900, 403200, 423360, 453600, 470400, 508032, 518400, 529200, 564480, 604800, 635040, 705600, 725760, 793800, 846720, 907200, 940800, 1016064, 1058400, 1209600, 1270080, 1411200, 1587600, 1693440, 1814400, 2116800, 2540160, 2822400, 3175200, 3628800, 4233600, 5080320, 6350400, 8467200, 12700800, 25401600 $\left.\right\}$

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Programas de calculadora: (.g1m - Modelos Casio fx-9860GII e fx9750GII; .g3m - Modelos Casio fx-cg10 fx-cg20 e fx-cg50; .tns - Modelos Texas Instruments nSpire CX e nSpire CX CAS)

.g1m	.g3m	.tns

Uma mente diferente...

Recentemente, uma explicanda trouxe-me o problema: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {u_1 = 3} \\ {u_{n + 1} = u_n + 2n, \text{ se }n > 1} \end{array}} \right. \] Qual o valor de $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}$?
Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
\begin{eqnarray*} {u_1}&{=}&{3}\\ {u_2}&{=}&{3+2}\\ {u_3}&{=}&{3+2+4}\\ {u_4}&{=}&{3+2+4+6}\\ {u_5}&{=}&{3+2+4+6+8}\\ {u_6}&{=}&{3+2+4+6+8+10}\\ {...}&{...}&{...}\\ {u_n}&{=}&{3+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=3+(n-1)n} \end{eqnarray*} Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=\sum\limits_{n = 1}^{100} {\left(3+(n-1)n\right)}=300+\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}-5050\] Justifiquei convenientemente os números $300$ e o $5050$, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula: \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}=100\times1+99\times 3+98\times 5 + ... + 1 \times (200-1) = \sum\limits_{n = 1}^{100} {(101-n)(2n-1)}\] Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?

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E agora, com este desenho?

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Se fizermos $S=\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}$, a fórmula anterior consegue reescrever-se na forma \[S=-2S+\sum\limits_{n = 1}^{100} {203n}-101\times 100 \] Que nos leva a $3S=1015050$ (número curioso) e portanto $S=338350$.
Logo \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=300+338350-5050=333600\] Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."

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PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...

Uma recta tangente vinda de Briliant.org

Como curiosidade... determine também a equação reduzida dessa recta tangente.

$64+27=91$
Equação reduzida da recta:
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]

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Proposta de resolução (por Carlos Paulo A. Freitas)
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação $y=x^2$ no ponto de coordenadas $(a,a^2)$ é $$y=2ax-a^2$$

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Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(a,f(a))$ é $$y-f(a)=f'(a) (x-a)$$.
Considerando $f(x)=x^2$, temos $f'(a)=2a$ e então uma equação da recta tangente em $(a,a^2)$ é \[y-a^2=2a(x-a)\] que é equivalente a \[y=2ax-a^2\]

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A equação reduzida da recta tangente à cúbica de equação $y=x^3$ no ponto de coordenadas $(b,b^3)$ é $$y=3b^2x-2b^3$$

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Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(b,f(b))$ é $$y-f(b)=f'(b) (x-b)$$.
Considerando $f(x)=x^3$, temos $f'(b)=3b^2$ e então uma equação da recta tangente em $(b,b^3)$ é \[y-b^3=3b^2(x-b)\] que é equivalente a \[y=3b^2x-2b^3\]

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Para que estas duas rectas sejam a mesma temos de ter \[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a^2 = 2b^3 } \end{array}} \right. \] Vamos procurar a solução não nula deste sistema, por outras palavras $a\neq0$ e $b\neq0$ pois isso dar-nos-ia a solução conhecida no enunciado (o eixo $Ox$).
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {\displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{2}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle\frac{8}{3}b = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = 9b^2 - 8b} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = b\left( {9b - 8} \right)} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{b \neq 0} \left\{ {\begin{array}{l} {b = \displaystyle\frac{8}{9}} \\ {a = \displaystyle\frac{32}{27}} \end{array}} \right. \] Portanto o declive da recta é $m=2a=\displaystyle\frac{64}{27}$ , logo a resposta ao problema original é $64+27=91$; a ordenada na origem é $-a^2=-\displaystyle\frac{1024}{729}$
Ou seja, a equação reduzida da recta é \[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]

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Um integral à moda de Feynman

O exercício que se segue foi proposto por José Manuel Sacramento no facebook.
A proposta de resolução, é minha!

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Problema: calcular

\[ \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{11} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx} \]

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Proposta de Resolução: (Vou saltar algumas justificações, falo delas num post futuro)
Considere-se o integral paramétrico: \[ I(t)=\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{t} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx} \] Então, derivando em ordem a $t$, temos \begin{eqnarray*} {I'(t)}&{=}&{\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{t} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}\right)dx}}\\ {}&{=}&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{x^t}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{x^t+1-1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{1}{1 + x^2 }}-\int\limits_0^{ + \infty }{\frac{1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\frac{\pi}{2}-\int\limits_0^{ + \infty }{\frac{1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ \end{eqnarray*}. Fazendo a substituição $y=x^{-1}$ no último integral temos \begin{eqnarray*} {I'(t)}&{=}&{\frac{\pi}{2}-I'(t)}\\ \end{eqnarray*}. Ou seja, \[2I'(t)=\frac{\pi}{2}\] \[\Leftrightarrow I'(t)=\frac{\pi}{4}\] Portanto \[I(t)=\frac{\pi}{4}t+C\] Inspeccionando a definição de $I(t)$ vemos ainda que $I(3)=0$, isso dá-nos $C=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}$ ou seja \[I(t)=\frac{\pi}{4}t-\frac{3\pi}{4}\] Assim sendo, \[ \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{11} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx}=I(11)=\frac{\pi}{4}\times11-\frac{3\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}=2\pi \]

Distância de um ponto a um plano (I).

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica: \[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\] \[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\] \[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

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AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!

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(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)

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Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.