$64+27=91$
Equação reduzida da recta:
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
Equação reduzida da recta:
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
Proposta de resolução
(por Carlos Paulo A. Freitas)
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação $y=x^2$ no ponto de coordenadas $(a,a^2)$ é $$y=2ax-a^2$$
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(a,f(a))$ é $$y-f(a)=f'(a) (x-a)$$.
Considerando $f(x)=x^2$, temos $f'(a)=2a$ e então uma equação da recta tangente em $(a,a^2)$ é \[y-a^2=2a(x-a)\] que é equivalente a \[y=2ax-a^2\]
A equação reduzida da recta tangente à cúbica de equação $y=x^3$ no ponto de coordenadas $(b,b^3)$ é $$y=3b^2x-2b^3$$
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(b,f(b))$ é $$y-f(b)=f'(b) (x-b)$$.
Considerando $f(x)=x^3$, temos $f'(b)=3b^2$ e então uma equação da recta tangente em $(b,b^3)$ é \[y-b^3=3b^2(x-b)\] que é equivalente a \[y=3b^2x-2b^3\]
Para que estas duas rectas sejam a mesma temos de ter
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{2a = 3b^2 } \\
{a^2 = 2b^3 }
\end{array}} \right.
\]
Vamos procurar a solução não nula deste sistema, por outras palavras $a\neq0$ e $b\neq0$ pois isso dar-nos-ia a solução conhecida no enunciado (o eixo $Ox$).
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {\displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{2}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle\frac{8}{3}b = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = 9b^2 - 8b} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = b\left( {9b - 8} \right)} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{b \neq 0} \left\{ {\begin{array}{l} {b = \displaystyle\frac{8}{9}} \\ {a = \displaystyle\frac{32}{27}} \end{array}} \right. \] Portanto o declive da recta é $m=2a=\displaystyle\frac{64}{27}$ , logo a resposta ao problema original é $64+27=91$; a ordenada na origem é $-a^2=-\displaystyle\frac{1024}{729}$
Ou seja, a equação reduzida da recta é \[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação $y=x^2$ no ponto de coordenadas $(a,a^2)$ é $$y=2ax-a^2$$
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(a,f(a))$ é $$y-f(a)=f'(a) (x-a)$$.
Considerando $f(x)=x^2$, temos $f'(a)=2a$ e então uma equação da recta tangente em $(a,a^2)$ é \[y-a^2=2a(x-a)\] que é equivalente a \[y=2ax-a^2\]
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(b,f(b))$ é $$y-f(b)=f'(b) (x-b)$$.
Considerando $f(x)=x^3$, temos $f'(b)=3b^2$ e então uma equação da recta tangente em $(b,b^3)$ é \[y-b^3=3b^2(x-b)\] que é equivalente a \[y=3b^2x-2b^3\]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {\displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{2}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle\frac{8}{3}b = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = 9b^2 - 8b} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = b\left( {9b - 8} \right)} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{b \neq 0} \left\{ {\begin{array}{l} {b = \displaystyle\frac{8}{9}} \\ {a = \displaystyle\frac{32}{27}} \end{array}} \right. \] Portanto o declive da recta é $m=2a=\displaystyle\frac{64}{27}$ , logo a resposta ao problema original é $64+27=91$; a ordenada na origem é $-a^2=-\displaystyle\frac{1024}{729}$
Ou seja, a equação reduzida da recta é \[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
