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31/01/2019

Uma mente diferente...

Recentemente, uma explicanda trouxe-me o problema: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {u_1 = 3} \\ {u_{n + 1} = u_n + 2n, \text{ se }n > 1} \end{array}} \right. \] Qual o valor de $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}$?
Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
\begin{eqnarray*} {u_1}&{=}&{3}\\ {u_2}&{=}&{3+2}\\ {u_3}&{=}&{3+2+4}\\ {u_4}&{=}&{3+2+4+6}\\ {u_5}&{=}&{3+2+4+6+8}\\ {u_6}&{=}&{3+2+4+6+8+10}\\ {...}&{...}&{...}\\ {u_n}&{=}&{3+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=3+(n-1)n} \end{eqnarray*} Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=\sum\limits_{n = 1}^{100} {\left(3+(n-1)n\right)}=300+\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}-5050\] Justifiquei convenientemente os números $300$ e o $5050$, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula: \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}=100\times1+99\times 3+98\times 5 + ... + 1 \times (200-1) = \sum\limits_{n = 1}^{100} {(101-n)(2n-1)}\] Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?


E agora, com este desenho?
Se fizermos $S=\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}$, a fórmula anterior consegue reescrever-se na forma \[S=-2S+\sum\limits_{n = 1}^{100} {203n}-101\times 100 \] Que nos leva a $3S=1015050$ (número curioso) e portanto $S=338350$.
Logo \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=300+338350-5050=333600\] Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."
PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...