Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
\begin{eqnarray*} {u_1}&{=}&{3}\\ {u_2}&{=}&{3+2}\\ {u_3}&{=}&{3+2+4}\\ {u_4}&{=}&{3+2+4+6}\\ {u_5}&{=}&{3+2+4+6+8}\\ {u_6}&{=}&{3+2+4+6+8+10}\\ {...}&{...}&{...}\\ {u_n}&{=}&{3+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=3+(n-1)n} \end{eqnarray*} Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=\sum\limits_{n = 1}^{100} {\left(3+(n-1)n\right)}=300+\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}-5050\] Justifiquei convenientemente os números $300$ e o $5050$, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula: \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}=100\times1+99\times 3+98\times 5 + ... + 1 \times (200-1) = \sum\limits_{n = 1}^{100} {(101-n)(2n-1)}\] Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?
Logo \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=300+338350-5050=333600\] Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."
PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...
"Percebi, mas não deve ser para resolver assim."
ResponderEliminarSeria interessante ela dizer-te qual a "outra" forma de se resolver. No meu caso não seria tão pedagógico como tu, teria embarcado pela resolução de uma eq. de diferenças.
Visão interessante e esclarecedora a que apresentas aqui!
É um exercício típico de recorrências e de equações de diferenças.
ResponderEliminarLá apetecer, apeteceu!
Mas isto veio de um sítio onde no máximo se dá o método de indução.
Como ela não me trouxe o enunciado original, eu acredito que numa pergunta anterior veio qualquer coisa para provar por indução, que permitia atacar isto de forma mais imediata.