27/02/2020

Do método das tangentes aos fractais de Newton

Considere o gráfico cartesiano de uma função $f$ de domínio $\R$, e contradomínio contido em $\R$. Vamos ainda assumir que $f$ é diferenciável em $\R$

Seja $x_n$ um ponto do domínio de $f$. Qual é a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_n$?

\[y=f'(x_n)x-f'(x_n)x_n+f(x_n)\]
Assumindo que a recta não é horizontal, ela intersecta o eixo dos $x$ num ponto. Seja $x_{n+1}$ a abcissa desse ponto. Determine $x_{n+1}$.

\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
Partindo de um valor real $x_0$ inicial, a fórmula do exercício anterior define, por recorrência, uma sucessão. Assumindo que a sucessão $(x_n)$ converge para um limite $l\in\R$, tal que $f'(l)\neq 0$. Calcule $f(l)$.
Que concluí sobre o limite $l$ ?

(nota: vou utilizar a convenção habitual escrever $\lim$ sem escrever por baixo que $n\to\infty$... para onde querem que os naturais tendam mesmo?)
Aplicando limites a ambos os termos da igualdade do exercício anterior, temos \[\lim x_{n+1}=\lim x_n-\lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] \[\Leftrightarrow \lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=0\] \[\Leftrightarrow \lim f(x_n)=0\] Sendo $f$ diferenciável em $l$, $f$ é contínua em $l$, logo \[ f( \lim x_n)=0\] ou seja \[f( l)=0\] Por outras palavras: $l$ é um zero de $f$.
PS: Se alguém me pede bibliografia para isto, mando-o passear.

O método de obtenção de valores aproximados de zeros através desta sucessão $(x_n)$ é conhecido por "Método das tangentes", "Método de Newton", "método de Newton-Raphson" e sou capaz de jurar que já li algures "Newton-Fourier", e é estudado em várias cadeiras de Análise Numérica/Métodos numéricos em muitos cursos no ensino superior.

Fractais de Newton

Se resolveu os três exercícios que propus, em particular o último, facilmente perceberá que se $f$ for agora uma função complexa de variável complexa, diferenciável no plano complexo, partindo de um $z_0$ inicial e assumindo que a sucessão definida por recorrência por \[z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}\] converge, ela convergirá para um zero de $f$.
Por exemplo a função $f(z)=z^3-1$ tem três zeros: $1, -\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i , -\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Para que zero é que a sucessão converge?
Naturalmente, dependerá do valor do $z_0$.
Vamos fazer este exercício mental: vamos atribuir uma cor a cada um dos zeros.

verde : 1
vermelho : $-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$
azul : $-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Depois, vamos percorrer todo o plano complexo, usar cada ponto do plano como $z_0$, e pintar o correspondente afixo (ou imagem pontual) no plano, de acordo com o limite da sucessão...
A seguir reproduzo uma imagem aproximada do que se obtém percorrendo o rectangulo $\left[-3,3\right]\times \left[-1.6875,1,6875\right]$

Podemos ainda escurecer os pontos de acordo com a convergência do método. Se a convergência for mais rápida, fica mais claro e se for mais lenta (ou nem convergir) fica mais escuro.

A imagem obtida, é aquilo a que se chama um Fractal de Newton.
Eu uso uma versão desta imagem nos meus cartões...

E até neste vídeo... As imagens que apresento foram geradas em C++ recorrendo a algumas bibliotecas, mas já o fiz, por exemplo, em Pascal (!).
Hoje em dia é fácil gerar estas imagens para qualquer equação em varias linguagens como por exemplo Python (eu não estaria a afirmar isto se já não o tivesse feito).
Podem passar pelo meu deviantart e ver mais alguns fractais de Newton.
Detalhes sobre como implementar isto?
Este blog é sobre Matemática e ciências exactas, mas posso pensar no assunto e publicar noutro sítio, desde que me prometam respeitar os direitos de autor...

Actualização (17/07/2020)
Agradecimentos:Margarida Gouveia, Beatriz Martins e Sónia Correia Martins

14/02/2020

Quantos algarismos tem um número natural?

Recentemente, perguntei a alguém se sabia me dizer quantos algarismos tem $2^{2020}$, quando escrito na forma usual (na nossa base 10).
Permiti que usasse calculadora :)
Não foi a primeira vez que fiz este tipo indecente de perguntas a alguém.
Principalmente, porque já sabia responder a isto desde o meu secundário!
[Eh! Não é show-off! Não gosto de show-off! É só para perceberem que não precisam de "conhecimentos avançados"!].

Por exemplo podem ler o texto que escrevi em 2017 no blog carlospaulices:

CarlosPaulices no século XXI: o número de algarismos...

Como atacar o problema?
Hoje, exponho o raciocínio que me ocorreu há cerca de 25 anos, a fórmula, a dedução da fórmula e finalmente a resposta à questão com que iniciei este texto.
Pensemos num número natural ao acaso.
Por exemplo no número $1977$ (ano muito importante: estreou o Star Wars... e só por mero acaso, também foi o ano em que eu nasci)
Em notação científica este número escreve-se: \[1977=1,977\times 10^3\] Como é óbvio, aquele 3 do expoente do 10 está relacionado com o número de algarismos do número 1977.
Vamos tentar com outro número natural ao acaso, que, insisto, só por acaso, me passou pela cabeça: \[13121977=1,3121977\times 10^7\] Estou a notar um padrão. Parece que o número de algarismos, $n_a(N)$ é o expoente daquele 10, somado de uma unidade.
Expoente do 10? Isso não parece um logaritmo de base 10?
\[\log_{10} 13121977=\log_{10} \left(1,3121977\times 10^7\right)=\log_{10}1,3121977+\log_{10} 10^7=\log_{10}1,3121977+7\] Aquele logaritmo de $1,3121977$ está entre 0 e 1... e isso vai acontecer sempre (Se há 25 anos eu sabia porquê, se você sabe o que é um logaritmo, também sabe porquê).
Isso quer dizer que a parte inteira do logaritmo base $10$ de $13121977$ é $7$
Hoje em dia, eu escrevo isso assim: \[ \left\lfloor {\log _{10} 13121977} \right\rfloor = 7 \] (na altura, eu escrevia como está no blog carlospaulices, porque há 25 anos era a notação da minha calculadora e eu não conhecia outra)
Ou seja, tinha chegado à fórmula $n_a-1=\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor$, ou equivalentemente:
\[n_a=1+\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor\] Isto é bonito... consegue-se demonstrar? Sim, mas vou deixar como exercício!
Pronto, se for muito preguiçoso, ou não tiver ideias, pode ver a minha demonstração clicando neste botão:

Seja $N$ um número natural com $n_a$ algarismos em base 10. Isso quer dizer que o número se escreve na forma \[N=a_{n_a}a_{n_a-1}\cdots a_1\] onde os $a_i$, com $i\in \{1,...,n_a\}$ são algarismos entre 0 e 9, exceptuando o $a_{n_a}$, que é um algarismo entre 1 e 9.
Outra forma de escrever isto é : \[N=a_1+ a_2\times10+a_3\times10^2+\cdots+a_{n_a}\times10^{n_a-1}\] Escrever o número em notação científica na verdade significa colocar o $10^{n_a-1}$ em evidência! \[N=10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)\] Assim sendo \begin{eqnarray*} {\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}}+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor n_a-1+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{ n_a-1 } \end{eqnarray*} Assim sendo, \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}=n_a-1\] Ou, equivalentemente: \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor+1}=n_a\]

$\blacksquare$

Com esta fórmula, já consegue determinar o número de algarismos de $2^{2020}$?
Os meus ex-alunos e ex-explicandos a quem propus coisas semelhantes conseguiram:

\[n_a=1+\left\lfloor \log_{10}2^{2020}\right\rfloor=1+\left\lfloor 2020\log_{10}2\right\rfloor=609\]

Se percebeu o que acabei de escrever, então, certamente conseguirá concluir que o número de algarismos de um número natural numa base $b>1$, natural, será dado pela fórmula: \[n_a={\left\lfloor \log_{b} N\right\rfloor+1}\]

Exercício: Quantos algarismos tem o factorial de $1977$ ? (número escolhido ao acaso...)

\[5660\]

Pista/sugestão: qualquer calculadora decente actual tem logaritmos base 10... e somatórios! (Sim, as outras são indecentes!)

06/02/2020

Uma fórmula simples e útil no m.r.u.v.

Num movimento rectilíneo uniformemente variado (ou seja, $a$ constante) é válida a fórmula: \[v^2-v_0^2=2a\Delta x\] Consegue deduzi-la?

\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = x_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2 } \\ {v = v_0 + at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x - x_0 = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{1}{2}at} \right)t} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{{v - v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {\displaystyle\frac{{v + v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \displaystyle\frac{{\left( {v + v_0 } \right)\left( {v - v_0 } \right)}}{2a}} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a\Delta x = v^2 - v_0 ^2 } \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \]