Quantos algarismos tem um número natural?

Recentemente, perguntei a alguém se sabia me dizer quantos algarismos tem $2^{2020}$, quando escrito na forma usual (na nossa base 10).
Permiti que usasse calculadora :)
Não foi a primeira vez que fiz este tipo indecente de perguntas a alguém.
Principalmente, porque já sabia responder a isto desde o meu secundário!
[Eh! Não é show-off! Não gosto de show-off! É só para perceberem que não precisam de "conhecimentos avançados"!].

Por exemplo podem ler o texto que escrevi em 2017 no blog carlospaulices:

CarlosPaulices no século XXI: o número de algarismos...

Como atacar o problema?
Hoje, exponho o raciocínio que me ocorreu há cerca de 25 anos, a fórmula, a dedução da fórmula e finalmente a resposta à questão com que iniciei este texto.
Pensemos num número natural ao acaso.
Por exemplo no número $1977$ (ano muito importante: estreou o Star Wars... e só por mero acaso, também foi o ano em que eu nasci)
Em notação científica este número escreve-se: $$1977=1,977\times 10^3$$ Como é óbvio, aquele 3 do expoente do 10 está relacionado com o número de algarismos do número 1977.
Vamos tentar com outro número natural ao acaso, que, insisto, só por acaso, me passou pela cabeça: $$13121977=1,3121977\times 10^7$$ Estou a notar um padrão. Parece que o número de algarismos, $n_a(N)$ é o expoente daquele 10, somado de uma unidade.
Expoente do 10? Isso não parece um logaritmo de base 10?
$$\log_{10} 13121977=\log_{10} \left(1,3121977\times 10^7\right)=\log_{10}1,3121977+\log_{10} 10^7=\log_{10}1,3121977+7$$ Aquele logaritmo de $1,3121977$ está entre 0 e 1... e isso vai acontecer sempre (Se há 25 anos eu sabia porquê, se você sabe o que é um logaritmo, também sabe porquê).
Isso quer dizer que a parte inteira do logaritmo base $10$ de $13121977$ é $7$
Hoje em dia, eu escrevo isso assim: $$\left\lfloor {\log _{10} 13121977} \right\rfloor = 7$$ (na altura, eu escrevia como está no blog carlospaulices, porque há 25 anos era a notação da minha calculadora e eu não conhecia outra)
Ou seja, tinha chegado à fórmula $n_a-1=\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor$, ou equivalentemente:
$$n_a=1+\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor$$ Isto é bonito... consegue-se demonstrar? Sim, mas vou deixar como exercício!
Pronto, se for muito preguiçoso, ou não tiver ideias, pode ver a minha demonstração clicando neste botão:

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Seja $N$ um número natural com $n_a$ algarismos em base 10. Isso quer dizer que o número se escreve na forma $$N=a_{n_a}a_{n_a-1}\cdots a_1$$ onde os $a_i$, com $i\in \{1,...,n_a\}$ são algarismos entre 0 e 9, exceptuando o $a_{n_a}$, que é um algarismo entre 1 e 9.
Outra forma de escrever isto é : $$N=a_1+ a_2\times10+a_3\times10^2+\cdots+a_{n_a}\times10^{n_a-1}$$ Escrever o número em notação científica na verdade significa colocar o $10^{n_a-1}$ em evidência! $$N=10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)$$ Assim sendo $$\begin{eqnarray*} {\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}}+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor n_a-1+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{ n_a-1 } \end{eqnarray*}$$ Assim sendo, $${\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}=n_a-1$$ Ou, equivalentemente: $${\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor+1}=n_a$$

$\blacksquare$

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Com esta fórmula, já consegue determinar o número de algarismos de $2^{2020}$?
Os meus ex-alunos e ex-explicandos a quem propus coisas semelhantes conseguiram:

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$$n_a=1+\left\lfloor \log_{10}2^{2020}\right\rfloor=1+\left\lfloor 2020\log_{10}2\right\rfloor=609$$

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Se percebeu o que acabei de escrever, então, certamente conseguirá concluir que o número de algarismos de um número natural numa base $b>1$, natural, será dado pela fórmula: $$n_a={\left\lfloor \log_{b} N\right\rfloor+1}$$

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Exercício: Quantos algarismos tem o factorial de $1977$ ? (número escolhido ao acaso...)

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$$5660$$

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Pista/sugestão: qualquer calculadora decente actual tem logaritmos base 10... e somatórios! (Sim, as outras são indecentes!)

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