Do método das tangentes aos fractais de Newton

Considere o gráfico cartesiano de uma função $f$ de domínio $\R$, e contradomínio contido em $\R$. Vamos ainda assumir que $f$ é diferenciável em $\R$

1. Seja $x_n$ um ponto do domínio de $f$. Qual é a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_n$?
   
   

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   \[y=f'(x_n)x-f'(x_n)x_n+f(x_n)\]

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2. Assumindo que a recta não é horizontal, ela intersecta o eixo dos $x$ num ponto. Seja $x_{n+1}$ a abcissa desse ponto. Determine $x_{n+1}$.
   
   

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   \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

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3. Partindo de um valor real $x_0$ inicial, a fórmula do exercício anterior define, por recorrência, uma sucessão. Assumindo que a sucessão $(x_n)$ converge para um limite $l\in\R$, tal que $f'(l)\neq 0$. Calcule $f(l)$.
   Que concluí sobre o limite $l$ ?
   
   

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   (nota: vou utilizar a convenção habitual escrever $\lim$ sem escrever por baixo que $n\to\infty$... para onde querem que os naturais tendam mesmo?)
   Aplicando limites a ambos os termos da igualdade do exercício anterior, temos \[\lim x_{n+1}=\lim x_n-\lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] \[\Leftrightarrow \lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=0\] \[\Leftrightarrow \lim f(x_n)=0\] Sendo $f$ diferenciável em $l$, $f$ é contínua em $l$, logo \[ f( \lim x_n)=0\] ou seja \[f( l)=0\] Por outras palavras: $l$ é um zero de $f$.
   PS: Se alguém me pede bibliografia para isto, mando-o passear.

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O método de obtenção de valores aproximados de zeros através desta sucessão $(x_n)$ é conhecido por "Método das tangentes", "Método de Newton", "método de Newton-Raphson" e sou capaz de jurar que já li algures "Newton-Fourier", e é estudado em várias cadeiras de Análise Numérica/Métodos numéricos em muitos cursos no ensino superior.

Fractais de Newton

Se resolveu os três exercícios que propus, em particular o último, facilmente perceberá que se $f$ for agora uma função complexa de variável complexa, diferenciável no plano complexo, partindo de um $z_0$ inicial e assumindo que a sucessão definida por recorrência por \[z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}\] converge, ela convergirá para um zero de $f$.
Por exemplo a função $f(z)=z^3-1$ tem três zeros: $1, -\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i , -\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Para que zero é que a sucessão converge?
Naturalmente, dependerá do valor do $z_0$.
Vamos fazer este exercício mental: vamos atribuir uma cor a cada um dos zeros.

• verde : 1
• vermelho : $-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$
• azul : $-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Depois, vamos percorrer todo o plano complexo, usar cada ponto do plano como $z_0$, e pintar o correspondente afixo (ou imagem pontual) no plano, de acordo com o limite da sucessão...
A seguir reproduzo uma imagem aproximada do que se obtém percorrendo o rectangulo $\left[-3,3\right]\times \left[-1.6875,1,6875\right]$

Podemos ainda escurecer os pontos de acordo com a convergência do método. Se a convergência for mais rápida, fica mais claro e se for mais lenta (ou nem convergir) fica mais escuro.

A imagem obtida, é aquilo a que se chama um Fractal de Newton.
Eu uso uma versão desta imagem nos meus cartões...

E até neste vídeo... As imagens que apresento foram geradas em C++ recorrendo a algumas bibliotecas, mas já o fiz, por exemplo, em Pascal (!).
Hoje em dia é fácil gerar estas imagens para qualquer equação em varias linguagens como por exemplo Python (eu não estaria a afirmar isto se já não o tivesse feito).
Podem passar pelo meu deviantart e ver mais alguns fractais de Newton.
Detalhes sobre como implementar isto?
Este blog é sobre Matemática e ciências exactas, mas posso pensar no assunto e publicar noutro sítio, desde que me prometam respeitar os direitos de autor...

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Actualização (17/07/2020)
Agradecimentos:Margarida Gouveia, Beatriz Martins e Sónia Correia Martins

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