Recentemente encontrei um problema num dos meus programas de calculadora dos anos 90 a correr numa máquina actual. Na verdade o "problema" deve-se a ter sido escrito numa máquina diferente, e ao fabricante (a CASIO) ter feito algumas modificações nas calculadoras.
Problema facilmente resolúvel. O programa chama-se "números" e uma vez introduzido um número natural dá ao utilizador a decomposição em factores primos, a função φ de Euler, o número de divisores, a soma dos divisores e o produto dos divisores, e como bónus até podia mostrar todos os divisores do número.
O programa foi escrito para me servir de apoio numa disciplina de Teoria dos Números, visto que na altura eu estava com um sério problema de saúde e tinha sérios problemas em concentrar-me (aliás, foi nesse ano em que pela primeira vez tive de desistir numa frequência e deixar para exame).
A função φ de Euler, dá, para cada natural n o número de números naturais entre 1 e n−1 (inclusive) que é coprimo com n, ou, por outras palavras, φ(n)=#{m∈N1:m<n∧(m e n são primos entre si )}
Abaixo vou propor um exercício sem indicar as fórmulas para o resolver, e que é rapidamente resolvido por esse programa de calculadora Exercício:
Considere o número n=25401600. Para este número determine:
Decomposição de n em factores primos
número de divisores de n
soma dos divisores de n
produto dos divisores de n
φ(n)
Os divisores de n
Decomposição de 25401600 em factores primos: 25401600=28×34×52×72
25401600
2
12700800
2
6350400
2
3175200
2
1587600
2
793800
2
396900
2
198450
2
99225
3
33075
3
11025
3
3675
3
1225
5
245
5
49
7
7
7
1
O número de divisores de 25401600 é 405
número de divisores de 25401600 = τ(25401600)=(8+1)×(4+1)×(2+1)×(2+1)=405
soma dos divisores de 25401600: 109255377
soma dos divisores de 25401600 = 28+1−12−1×34+1−13−1×52+1−15−1×72+1−17−1=109255377
produto dos divisores de 25401600≈3,050473527×101499:
produto dos divisores de 25401600 = 25401600τ(25401600)2=254016004052=305047352729182253174004134529314133463982143321423670866764037377718746684631863019494872988928072586977382010877699976893228818998747971725639782991670315147277448214353785218826732663217210386436311097076444607289013988610404724784345668111668186460126975588359217912202012612318012684183472698683992089247983188137511513897833053855027481625136383715831187810731859710830629756119330811108565079831968949993414963949965093122171965532585683279551649783233634875314042656032015349875338898739359449069030654462288413184696519659742917535962257652063492979499453689791629220514820731975829628087618456140021320586739732593090447371320951625406019739279951029743721452805241862184767447352454155282281847316301542497360257699942103612325756704426945835441772896564414984724103550785981747200931635731871226666973056311080701617104470160346059015538067975536497084634359837692271527531013666221378132945652982469916797019061842769788506889738588331844184392532814011815755326497291985162421953577246183809913211380900800409769443950132373749291559083328700126368393618773881239814624763942273024000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000≈3,050473527×101499