03/03/2019

O número de divisores, a soma e o produto dos divisores naturais de um número natural

Recentemente encontrei um problema num dos meus programas de calculadora dos anos 90 a correr numa máquina actual. Na verdade o "problema" deve-se a ter sido escrito numa máquina diferente, e ao fabricante (a CASIO) ter feito algumas modificações nas calculadoras.
Problema facilmente resolúvel. O programa chama-se "números" e uma vez introduzido um número natural dá ao utilizador a decomposição em factores primos, a função φ de Euler, o número de divisores, a soma dos divisores e o produto dos divisores, e como bónus até podia mostrar todos os divisores do número.
O programa foi escrito para me servir de apoio numa disciplina de Teoria dos Números, visto que na altura eu estava com um sério problema de saúde e tinha sérios problemas em concentrar-me (aliás, foi nesse ano em que pela primeira vez tive de desistir numa frequência e deixar para exame).

A função φ de Euler, dá, para cada natural n o número de números naturais entre 1 e n1 (inclusive) que é coprimo com n, ou, por outras palavras, φ(n)=#{mN1:m<n(m e n são primos entre si )}

Abaixo vou propor um exercício sem indicar as fórmulas para o resolver, e que é rapidamente resolvido por esse programa de calculadora

Exercício:
Considere o número n=25401600. Para este número determine:
  • Decomposição de n em factores primos
  • número de divisores de n
  • soma dos divisores de n
  • produto dos divisores de n
  • φ(n)
  • Os divisores de n


Programas de calculadora: (.g1m - Modelos Casio fx-9860GII e fx9750GII; .g3m - Modelos Casio fx-cg10 fx-cg20 e fx-cg50; .8xp - Modelos Texas Instruments TI-84Plus CE e CET, .tns - Modelos Texas Instruments nSpire CX e nSpire CX CAS)

.g1m .g3m .8xp .tns
[Editado a 19-10-2021: Adicionei a versão do programa para TI-84Plus CE]