Qual é o número seguinte?

Muitos de nós já encontrámos problemas do tipo:

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Problema

• Qual é o número que se segue?
• Indica o termo geral da sucessão cujos primeiros termos são:

1. 1,2,3,4,...
2. 2,4,6,8,...
3. 1,-4,9,-16,...
4. 2,4,8,16,...

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Certamente, muitos responderão:

1. Número seguinte:$5$, termo geral $a_n=n$


2. Número seguinte:$10$, termo geral $b_n=2n$


3. Número seguinte:$25$, termo geral $c_n=(-1)^{n+1}n^2$


4. Número seguinte:$32$, termo geral $d_n=2^n$

Estarão correctos?
Sim... e não!
Há um problema na formulação destas questões.
É que na realidade não há resposta única!
Pedir "o" número seguinte, quando na verdade a resposta não é única, não faz sentido
Imagino que o leitor esteja a pensar "Este tipo está maluco! Como não há resposta única?"

Por exemplo, poderia apetecer-me responder

1. Número seguinte:$2021$, termo geral $a_n= 84n^{4}- 840{n}^{3}+2940{n}^{2}- 4199{n}+2016$
   


2. Número seguinte:$77$, termo geral $b_n= \displaystyle\frac{67}{24}n^{4}-\displaystyle\frac{335}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2345}{24}{n}^{2}-\displaystyle\frac{1651}{12}{n}+67$


3. Número seguinte:$0$, termo geral $c_n= \displaystyle\frac{45}{8}n^{4}-\displaystyle\frac{787}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2095}{8}{n}^{2}-\displaystyle\frac{4991}{12}{n}+215$


4. Número seguinte:$2020$, termo geral $d_n=\displaystyle\frac{995}{12}n^{4}-\displaystyle\frac{4973}{6}{n}^{3}+\displaystyle\frac{34813}{12}{n}^{2}-\displaystyle\frac{24859}{6}{n}+1990$

Não estou a ser troll. Podem verificar, sem problema nenhum, que as minhas respostas satisfazem as condições do enunciado, e também dão os números que apresentei.
Recomendo mesmo que faça as contas!
[Se pressionar no botão que se segue pode ver screenshots da minha calculadora CASIO fx-CG20 onde mostro as minhas contas feitas.]

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Está convencido que as minhas expressões geram os números do enunciado e também os números que eu disse? [Se não está, faça as contas... garanto que não estou a vigarizar...]
Note que o enunciado não impede que o nosso termo geral seja definido por ramos!
Portanto, eu até poderia dar uma resposta um bocadinho diferente.

$$a_5=2021\\ a_n = \left\{ {\begin{array}{c} {n\text{ se }n \leq 4} \\ {2021\text{ se }n > 4} \end{array}} \right.$$

$$b_5=77\\ b_n = \left\{ {\begin{array}{c} {2n\text{ se }n \leq 4} \\ {77\text{ se }n > 4} \end{array}} \right.$$

$$c_5=0\\ c_n = \left\{ {\begin{array}{c} {(-1)^{n+1}n^2\text{ se }n \leq 4} \\ {0\text{ se }n > 4} \end{array}} \right.$$

$$d_5=2020\\ d_n = \left\{ {\begin{array}{c} {2^n\text{ se }n \leq 4} \\ {2020\text{ se }n > 4} \end{array}} \right.$$

Não digam que "não estou a seguir o padrão". Quem vos garante que "o padrão" não é uma das fórmulas que indiquei? Fui eu que escrevi o enunciado!
Estando o enunciado como está, os valores de $a_5$, $b_5$, $c_5$, $d_5$ são arbitrários! E assim sendo, não há expressões únicas para as expressões dos termos gerais.
Portanto a resposta a "Qual é o número que se segue?" pode muito bem ser: "Um número qualquer"!
E está correcta!
Querem que a resposta seja "única"? Formulem a pergunta de outra forma.

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Como foi que eu obtive as expressões que escrevi antes de escrever as versões definidas por ramos?
Penso que deve ser óbvio.
Se não for, continue a leitura!
Recentemente encontrei no facebook um post onde pediam "o" termo geral para a sucessão. $$18,16,14,13,...$$ Não sendo uma coisa "óbvia", deduzi o polinómio interpolador de 3º grau para os pontos $(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)$: $$\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline {i} & {0} & {1} & {2} & {3} \\ \hline\hline {x}_{i} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {y}_{i} & {18} & {16} & {14} & {13} \\ \hline \end{array}$$ Tabela de diferenças divididas associada a estes pares ordenados: $$\begin{array}{c|c|ccc} {x} & {y} & {y[.,.]} & {y[.,.,.]} & {y[.,.,.,.]} \\ \hline {1} & {18} & { } & { } & { } \\ { } & { } & {- 2} & { } & { } \\ {2} & {16} & { } & {0} & { } \\ { } & { } & {- 2} & { } & {\displaystyle\frac{1}{6}} \\ {3} & {14} & { } & {\displaystyle\frac{1}{2}} & { } \\ { } & { } & {- 1} & { } & { } \\ {4} & {13} & { } & { } & { } \\ \hline \end{array}$$ Polinómio interpolador na forma de Newton: $$P(x)=18- 2\left( x - 1\right)+0\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)+\displaystyle\frac{1}{6}\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)\left( x - 3\right)$$ Polinómio interpolador na forma canónica $$P(x) = \displaystyle\frac{1}{6}x^{3}- {x}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{x}+19$$ Logo, uma possível expressão geral para a sucessão, pode ser: $$u_n = \displaystyle\frac{1}{6}n^{3}- {n}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{n}+19=\displaystyle\frac{n^{3}-6n^2-n}{6}+19$$ Para ser honesto, na altura resolvi a questão bem rapidamente, com a minha calculadora, e não o fiz como apresentei.
O polinómio interpolador de Lagrange para $N+1$ pontos sem repetições de abcissas coincide com a regressão polinomial de grau $N$ para esses pontos
[Posso sugerir a demonstração disso como exercício, (ver comentário 1 no fim)...Fi-lo uma vez para reduzir uma lista de trabalho que eu tinha para metade...].
Ou seja, se fizerem uma regressão polinomial de grau $3$ para os $4$ pontos que se seguem $$(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)$$ obtêm o mesmo polinómio.

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Já perceberam como obtive as expressões polinomiais?
Moral da história: Qual é o número que se segue?
Resposta: O número que vos apetecer!
Até uma próxima oportunidade. Carlos Paulo

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Comentários:

1. A demonstração de que o polinómio interpolador de Lagrange é a curva de regressão polinomial descrita no texto é óbvia: qual é mesmo a distância dos pontos ao gráfico da função descrita pelo polinómio interpolador?
2. O algoritmo das diferenças divididas apresentado no texto, foi totalmente gerado por uma criação minha, a cpcalculadorajs, que esteve alojada no serviço de homepages do sapo entre 2004 e 2014.O serviço fechou em 2014.
   A cpcalculadorajs calculou o polinómio, e gerou todo o código LaTeX.
   Em 2008, um professor, numa tentativa de me insultar e menosprezar o meu trabalho disse-me que não via a utilidade daquilo.
   Na altura respondi: Está na Internet, e corre em qualquer computador, em qualquer sistema operativo sem necessidade de software especial. Eu não preciso do Mathematica. nem do Matlab, nem de uma linguagem de programação. Basta-me ter um browser.
   Hoje em dia existem centenas de sites que usam a mesma filosofia de trabalho...
   A cpcalculadoraJS já não está online... mas continua a estar nos meus computadores. Aqui em casa, uma cópia está num RaspberryPi 4B.
   Para este texto, levei menos de 30 segundos a introduzir os pontos, e a ter o polinómio calculado, e o LaTeX gerado e copiado para aqui.