Zero elevado a zero

  Sabemos que em $\R$ e em $\C$ qualquer elemento não nulo elevado a zero tem como resultado a unidade.

Pois se $a$ for elemento de um daqueles corpos

\[a^0=a^{1-1}=\frac{a^1}{a^1}=\frac{a}{a}=1\]

Mas, e zero?

Utilizando um raciocínio semelhante ao anterior percebemos que $0^0$ se existisse deveria ser igual a $\frc{0}{0}$, que tem o conveniente inconveniente de não estar definido.

Vamos lá pensar então, com limites.

\[\lim_{x \to 0^{+} } 0^{x}=0\] \[\lim_{x \to 0^{+} } x^{0}=1\]

Bem, isto só prova que a função $f(x,y)=x^y$ não tem limite logo não consegue ser contínua em $(0,0)$.
E portanto, atribuir satisfatoriamente um valor a $0^0$ não é possível.

Aliás, $0^0$ é uma conhecida indeterminação no cálculo de limites!

Por exemplo

$$\lim_{x \to 0^+} x^{\frc{\ln(2026)}{\ln(x)}}$$ é um $0^0$ cujo resultado é $2026$

[ Pode confirmar... ]

No blog "Raciocínios quase exactos e meio aleatórios" no post de ontem "O binómio de Newton, a partir da derivada da potência", escrevi explicitamente

    Se convencionarmos que nesta fórmula $0^0=1$ então \[(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{\frc{n!}{\left(n-k\right)!k!}a^{n-k}b^k}\]

Note-se que eu não estou a afirmar que $0^0=1$, até porque tenho plena noção que não é e ainda acabei de vos dar um exemplo onde "um $0^0$ deu 2026".
E se perceberam o que eu fiz, percebem que aquilo,com adaptações pode dar "o que vos apetecer", daí o título "indeterminação".
 Estou a dizer que para simplificar a escrita, naquela fórmula, vamos interpretar $0^0$ como sendo $1$.

Não é o único sítio onde dá jeito dar 1.

Por exemplo, se escrevemos

$$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} $$		ou	$$\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$	ou	$$\cosh x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

Temos o mesmo pormenor, camuflado, quando $x=0$.
Portanto: $0^0$ não é $1$.
Para simplificação de escrita em somatórios, dá jeito convencionar que naquelas fórmulas, $0^0$ representa o número $1$.