Uma potência de um binómio...

Hoje em dia, a capacidade de fazer contas não é considerada essencial para um bom matemático. Eu tenho as minhas reservas quanto a esta afirmação, mas não me apetece debatê-la aqui, e deixar isso para outros.
Quando se trata de potências de números da forma $a\pm b i$, se não quisermos andar com propriedades distributivas, temos duas formas "rápidas" de calcular, sem computadores ou calculadoras, ou quaisquer outras tecnologias: Binómio de Newton ou Fórmula de Moivre.
Qual a melhor?
Comecemos pelo exemplo: $$(2-3i)^5$$ Pelo teorema binomial $$\begin{eqnarray*} (2-3i)^5&{=}&{\sum_{k=0}^{5}{\combin{5}{k}2^{5-k}(-3)^k i^k}}\\ {}&{=}&{(1\cdot 2^5-10\cdot 2^3\cdot 3^2+5\cdot 2^1\cdot 3^4)-i(5\cdot 2^4\cdot 3-10\cdot 2^2\cdot 3^3 +3^5 )}\\ {}&{=}&{(32-720+810)-i(240-1080+243)}\\ {}&{=}&{122-i(-597)}\\ {}&{=}&{122+597i} \end{eqnarray*}$$ Pela fórmula de Moivre:
Comecemos por escrever $2-3i$ na forma polar: $$2-3i=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}-i\frac{3}{\sqrt{13}}\right)=\sqrt{13}\cdot \cis \alpha$$ onde $\alpha$ é um ângulo do quarto quadrante tal que: $$\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}$$ e $$\sin \alpha=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$ E pela fórmula de Moivre temos então que: $$(2-3i)^5=\sqrt{13}^5 \cdot \cis (5\alpha)=\sqrt{13}^5\cos(5\alpha)+i\sqrt{13}^5\sin(5\alpha)$$ Tornando esta fórmula pouco prática se se desconhecermos fórmulas para os seno e cosseno de $5 \alpha$, e igualmente trabalhosa se conhecermos as fórmulas...
(Observação: as fórmulas são fáceis de deduzir a partir das formulas do seno e cosseno da soma, e ainda mais pela fórmula binomial...)
No entanto, se o problema fosse, por exemplo, $(1+i)^{10}$, aqui a fórmula de Moivre seria bem útil, pois desta vez, $\alpha$ seria um ângulo que não obriga a conhecer a fórmula do seno ou cosseno de $10 \alpha$: $$(1+i)^{10}=\sqrt{2}^{10}\cis \left(\frac{10\pi}{4}\right)=2^5 \cis \frac{5\pi}{2}=32 \cis \frac{\pi}{2}=32 i$$

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E pensar que inicialmente eu pensei em ter este blog apenas para assuntos mais pesados...

Dormindo sobre um problema de geometria analítica... ao nível do ensino secundário português

Estive a trabalhar das 9 da manhã às 23h00... com intervalo para refeições.
Lá depois da meia-noite fiz aquilo que uma pessoa de bom senso não faria: ir para o facebook dar palpites sobre Matemática

Por exemplo, li este problema:
Dados os pontos $M(a,0)$ e $N(0,a)$, determinar $P$ por forma a que o triângulo $MNP$ seja equilátero.

Provavelmente pelo cansaço, vi $N(-a,0)$ em vez do que realmente lá estava e portanto dei uma resposta errada!
(É bem feito para não me armar em guru da Matemática).
Uma resposta óbvia, é determinar $P$ por forma a que $\overline{MP}=\overline{NP}$.
Outra forma, menos óbvia, e que como auto-castigo, vou apresentar, é determinar os (dois) vectores $\vect{n}$ de norma $\overline{MN}\sin 60^0$ , ortogonais a $\vect{MN}$ e somá-los ao ponto $C$, ponto médio do segmento $[MN]$
Bom, mãos à obra:
$$\vect{MN}=N-M=(-a,a)$$ Então os vectores perpendiculares a $\vect{MN}$ são da forma $\alpha(1,1)$, com $\alpha \in \R$. Os de norma $1$ são $\pm\displaystyle\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}$. e
$$\overline{MN}=\sqrt{(-a)^2+a^2}=|a|\sqrt{2}$$

• Supondo $a>0$ temos:
  $$\overline{MN}=a\sqrt{2}$$ Assim sendo, temos $\vect{n}=\pm\displaystyle\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}\times a\sqrt{2}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\pm\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2},\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
  Tal como eu disse, $C$ é o ponto médio de $[MN]$ ou seja $$C=\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+a}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$$ E finalmente: $$P=C+\vect{n}=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\pm\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2},\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$$ Ou seja: $$P=\left(\frac{a-a\sqrt{3}}{2},\frac{a-a\sqrt{3}}{2}\right)\vee P=\left(\frac{a+a\sqrt{3}}{2},\frac{a+a\sqrt{3}}{2}\right)$$
• Supondo $a < 0$ temos:
  $$\overline{MN}=-a\sqrt{2}$$
...
Agora faça, você o resto e inclua as justificações que faltam. Já cumpri a minha parte do castigo. Agora o castigado será você porque se atreveu a ler isto!

Eu vou dormir. Boa noite e até logo!