O resto de uma divisão...

Hoje vou apresentar uma resolução feita num intervalo, esboçada num recibo de café...com mais algum detalhe que o recibo.

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Problema: Qual é o resto da divisão de $\underbrace {2323 ... 232323}_{\text{$4018$ dígitos}}$   por $999$?

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Possível resolução:
Por Carlos Paulo A. Freitas Primeiro note-se que $$\underbrace {2323 ... 232323}_{\text{$4018$ dígitos}}=23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}$$ Depois que $$1\equiv 1 \Mod{999} \\ 10\equiv 10 \Mod{999} \\ 10^2\equiv 100 \Mod{999}\\ 10^3\equiv 1 \Mod{999}\\ 10^4\equiv 10 \Mod{999}\\ 10^5\equiv 100 \Mod{999}\\ 10^6\equiv 1 \Mod{999}\\ \vdots \\ 10^{3n}\equiv 1 \Mod{999}\\ 10^{3n+1}\equiv 10 \Mod{999}\\ 10^{3n+2}\equiv 100 \Mod{999}\\ \forall n\in \N$$ e portanto $$10^{6n}\equiv 1 \Mod{999}\\ 10^{6n+2}\equiv 100 \Mod{999}\\ 10^{6n+4}\equiv 10 \Mod{999}\\ \forall n\in \N$$ Logo, como $$23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}=23 \left(\sum_{n=0}^{669}{10^{6n}}+\sum_{n=0}^{669}{10^{6n+2}}+\sum_{n=0}^{668}{10^{6n+4}}\right)$$ A resolução resume-se a $$\begin{eqnarray*} {23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}}&{\equiv}&{23\left( 670\Mod{999}+67000\Mod{999}+6690\Mod{999}\right)}\\ {}&{\equiv}&{23\left( 670\Mod{999}+67\Mod{999}+696\Mod{999}\right)}\\ {}&{\equiv}&{23\left( 1433\Mod{999}\right)}\\ {}&{\equiv}&{23\left( 434\Mod{999}\right)}\\ {}&{\equiv}&{9982\Mod{999}}\\ {}&{\equiv}&{991\Mod{999}} \end{eqnarray*}$$ Portanto o resto é $991$.

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PS:Desculpem qualquer coisinha... há anos que não fazia coisas destas.
Cumprimentos ao Elias Rodrigues. Deu-lhe a mesma coisa que a mim, sem a confusão que eu fiz questão de escrever aqui!