Hoje vou apresentar uma resolução feita num intervalo, esboçada num recibo de café...com mais algum detalhe que o recibo. Problema:
Qual é o resto da divisão de $\underbrace {2323 ... 232323}_{\text{$4018$ dígitos}}$ por $999$?
Possível resolução:
Por Carlos Paulo A. Freitas
Primeiro note-se que
\[
\underbrace {2323 ... 232323}_{\text{$4018$ dígitos}}=23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}
\]
Depois que
\[
1\equiv 1 \Mod{999} \\
10\equiv 10 \Mod{999} \\
10^2\equiv 100 \Mod{999}\\
10^3\equiv 1 \Mod{999}\\
10^4\equiv 10 \Mod{999}\\
10^5\equiv 100 \Mod{999}\\
10^6\equiv 1 \Mod{999}\\
\vdots \\
10^{3n}\equiv 1 \Mod{999}\\
10^{3n+1}\equiv 10 \Mod{999}\\
10^{3n+2}\equiv 100 \Mod{999}\\
\forall n\in \N
\]
e portanto
\[
10^{6n}\equiv 1 \Mod{999}\\
10^{6n+2}\equiv 100 \Mod{999}\\
10^{6n+4}\equiv 10 \Mod{999}\\
\forall n\in \N
\]
Logo, como
\[
23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}=23 \left(\sum_{n=0}^{669}{10^{6n}}+\sum_{n=0}^{669}{10^{6n+2}}+\sum_{n=0}^{668}{10^{6n+4}}\right)\]
A resolução resume-se a
\begin{eqnarray*}
{23 \sum_{k=0}^{2008}{10^{2k}}}&{\equiv}&{23\left( 670\Mod{999}+67000\Mod{999}+6690\Mod{999}\right)}\\
{}&{\equiv}&{23\left( 670\Mod{999}+67\Mod{999}+696\Mod{999}\right)}\\
{}&{\equiv}&{23\left( 1433\Mod{999}\right)}\\
{}&{\equiv}&{23\left( 434\Mod{999}\right)}\\
{}&{\equiv}&{9982\Mod{999}}\\
{}&{\equiv}&{991\Mod{999}}
\end{eqnarray*}
Portanto o resto é $991$. PS:Desculpem qualquer coisinha... há anos que não fazia coisas destas.
Cumprimentos ao Elias Rodrigues. Deu-lhe a mesma coisa que a mim, sem a confusão que eu fiz questão de escrever aqui!
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