A proposta de resolução, é minha!
Problema: calcular
+∞∫0ln(1+x111+x3)(1+x2)lnxdx
Proposta de Resolução: (Vou saltar algumas justificações, falo delas num post futuro)
Considere-se o integral paramétrico: I(t)=+∞∫0ln(1+xt1+x3)(1+x2)lnxdx
Então, derivando em ordem a t, temos
I′(t)=+∞∫0∂∂t(ln(1+xt1+x3)(1+x2)lnx)dx=+∞∫0xt(1+x2)(1+xt)dx=+∞∫0xt+1−1(1+x2)(1+xt)dx=+∞∫011+x2−+∞∫01(1+x2)(1+xt)dx=π2−+∞∫01(1+x2)(1+xt)dx
.
Fazendo a substituição y=x−1 no último integral temos
I′(t)=π2−I′(t)
.
Ou seja,
2I′(t)=π2
⇔I′(t)=π4
Portanto
I(t)=π4t+C
Inspeccionando a definição de I(t) vemos ainda que I(3)=0, isso dá-nos C=−3π4
ou seja I(t)=π4t−3π4
Assim sendo,
+∞∫0ln(1+x111+x3)(1+x2)lnxdx=I(11)=π4×11−3π4=8π4=2π
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