04/09/2018

Um integral à moda de Feynman

O exercício que se segue foi proposto por José Manuel Sacramento no facebook.
A proposta de resolução, é minha!
Problema: calcular

+0ln(1+x111+x3)(1+x2)lnxdx


Proposta de Resolução: (Vou saltar algumas justificações, falo delas num post futuro)
Considere-se o integral paramétrico: I(t)=+0ln(1+xt1+x3)(1+x2)lnxdx
Então, derivando em ordem a t, temos I(t)=+0t(ln(1+xt1+x3)(1+x2)lnx)dx=+0xt(1+x2)(1+xt)dx=+0xt+11(1+x2)(1+xt)dx=+011+x2+01(1+x2)(1+xt)dx=π2+01(1+x2)(1+xt)dx
. Fazendo a substituição y=x1 no último integral temos I(t)=π2I(t)
. Ou seja, 2I(t)=π2
I(t)=π4
Portanto I(t)=π4t+C
Inspeccionando a definição de I(t) vemos ainda que I(3)=0, isso dá-nos C=3π4 ou seja I(t)=π4t3π4
Assim sendo, +0ln(1+x111+x3)(1+x2)lnxdx=I(11)=π4×113π4=8π4=2π

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