Qual o valor de 100∑n=1un?
Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
u1=3u2=3+2u3=3+2+4u4=3+2+4+6u5=3+2+4+6+8u6=3+2+4+6+8+10.........un=3+2⋅(n−1)n2=3+(n−1)n
Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever 100∑n=1un=100∑n=1(3+(n−1)n)=300+100∑n=1n2−5050
Justifiquei convenientemente os números 300 e o 5050, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula: 100∑n=1n2=100×1+99×3+98×5+...+1×(200−1)=100∑n=1(101−n)(2n−1)
Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?
Se fizermos S=100∑n=1n2, a fórmula anterior consegue reescrever-se na forma S=−2S+100∑n=1203n−101×100
Que nos leva a 3S=1015050 (número curioso) e portanto S=338350.
Logo 100∑n=1un=300+338350−5050=333600
Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."
PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...
