O seno de 18º

Esta ocorreu-me ao olhar para uma estrela de 5 pontas, neste Natal.
Há uns bons anos, partindo de "uma estrela regular de 5 pontas" (não vamos discutir a precisão matemática desta designação, ok?), ocorreu-me uma forma de deduzir o cosseno de $36^{\circ}$. Está em https://cpaulof2.blogspot.com/2013/06/o-numero-de-ouro-parte-3-o-pentagrama-e.html.
Nesse post, eu mostrei que $$\cos 36^{\circ}=\frac{\phi}{2}$$ onde $\phi$ é o número de ouro $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ Ora, uma fórmula que acabo por utilizar sempre que me aparecem alunos a pedir explicações de cadeiras que envolvem cálculo integral é
$${\sen}^{2} \alpha=\frac{1-\cos (2\alpha)}{2}$$ (um dia destes anexo uns formulários de trigonometria e de séries ao blog...)
Com umas pequenas manipulações algébricas escreve-se $$\begin{eqnarray*} {{\sen}^{2} 18^{\circ}}&=&{\frac{1-\cos 36^{\circ}}{2}}\\ {}&=&{\frac{1-\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}}\\ {}&=&{\frac{4-1-\sqrt{5}}{8}}\\ {}&=&{\frac{3-\sqrt{5}}{8}} \end{eqnarray*}$$ Vou tentar transformar $\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ no quadrado de um número positivo. $$\begin{eqnarray*} {\frac{3-\sqrt{5}}{8}}&=&{\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\\ {}&=&{\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}\\ {}&=&{\frac{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+1^2}{4^4}}\\ {}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} \end{eqnarray*}$$ Conclusão: $$\sen 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

$\blacksquare$

Feliz Natal

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Podem ver uma demonstração alternativa, e que se pode apresentar a alunos do ensino secundário em: https://www.youtube.com/watch?v=_00oskWLtII.
Hoje em dia encontra-se de tudo no youtube... mas eu pertenço à velha escola: Prefiro pensar e fazer eu...

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Curiosidade diabólica(26/12/2019) $$\begin{eqnarray*} {\sen 666^{\circ}}&=&{\sen 306^{\circ}}\\ {}&=&{\sen -54^{\circ}}\\ {}&=&{-\sen 54^{\circ}}\\ {}&=&{-\cos 36 ^{\circ}}\\ {}&=&{-\frac{\phi}{2}} \end{eqnarray*}$$

Uma curiosidade sobre a constante de Euler-Mascheroni

Em explicações, às vezes aparecem-nos coisas que desconhecíamos, ou que não tínhamos notado até esse momento.
Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
$$\gamma=-\Gamma'(1)$$
Onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de $\gamma$, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.

Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).

https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4

Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :

$$\gamma  = \lim\limits_{n\to \infty} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  - \ln n} \right)$$

E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass

$$\frac{1}{{\Gamma \left( x \right)}} = xe^{  \gamma x} \prod\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {1 + \frac{x}{k}} \right)e^{ - \frac{x}{k}} }$$

Como função auxiliar vou introduzir a função digama, $\psi$ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é

$$\psi (x): = \left( {\ln \Gamma \left( x \right)} \right)^\prime   = \frac{\Gamma '\left( x \right)}{\Gamma \left( x \right)}$$

Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
$$- \ln \Gamma \left( x \right) = \ln x +\gamma x + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left[ {\ln \left( {\frac{{k + x}}{k}} \right) - \frac{x}{k}} \right]}$$

Derivando ambos os membros temos
$$- \psi \left( x \right) = \frac{1}{x} + \gamma  + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } \left[ \frac{1}{k + x}- \frac{1}{k} \right]$$
Para $x=1$ temos $$-\frac{\Gamma '\left( 1 \right)}{\Gamma \left( 1 \right)} = 1 + \gamma + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty }\left[ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k} \right]$$

Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para $-1$ e $\Gamma(1)=0!=1$

Sai 

$$-\Gamma'(1)=\gamma$$

$\blacksquare$

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PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)