Uma curiosidade sobre a constante de Euler-Mascheroni

Em explicações, às vezes aparecem-nos coisas que desconhecíamos, ou que não tínhamos notado até esse momento.
Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
\[\gamma=-\Gamma'(1)\]
Onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de $\gamma$, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.

Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).

https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4

Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :

\[\gamma  = \lim\limits_{n\to \infty} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  - \ln n} \right)\]

E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass

\[
\frac{1}{{\Gamma \left( x \right)}} = xe^{  \gamma x} \prod\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {1 + \frac{x}{k}} \right)e^{ - \frac{x}{k}} }
\]

Como função auxiliar vou introduzir a função digama, $\psi$ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é

\[
\psi (x): = \left( {\ln \Gamma \left( x \right)} \right)^\prime   = \frac{\Gamma '\left( x \right)}{\Gamma \left( x \right)}
\]

Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
\[
 - \ln \Gamma \left( x \right) = \ln x +\gamma x + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left[ {\ln \left( {\frac{{k + x}}{k}} \right) - \frac{x}{k}} \right]}
\]

Derivando ambos os membros temos
\[ - \psi \left( x \right) = \frac{1}{x} + \gamma  + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } \left[ \frac{1}{k + x}- \frac{1}{k} \right] \]
Para $x=1$ temos \[ -\frac{\Gamma '\left( 1 \right)}{\Gamma \left( 1 \right)} = 1 + \gamma + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty }\left[ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k} \right] \]

Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para $-1$ e $\Gamma(1)=0!=1$

Sai 

\[-\Gamma'(1)=\gamma\]

$\blacksquare$

---

PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)