Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
γ=−Γ′(1)
Onde γ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de γ, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.
Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).
https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4
Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :
γ=limn→∞(n∑k=11k−lnn)
E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass
1Γ(x)=xeγx∞∏k=1(1+xk)e−xk
Como função auxiliar vou introduzir a função digama, ψ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é
ψ(x):=(lnΓ(x))′=Γ′(x)Γ(x)
Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
−lnΓ(x)=lnx+γx++∞∑k=1[ln(k+xk)−xk]
Derivando ambos os membros temos
−ψ(x)=1x+γ++∞∑k=1[1k+x−1k]
Para x=1 temos −Γ′(1)Γ(1)=1+γ++∞∑k=1[1k+1−1k]
Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para −1 e Γ(1)=0!=1
Sai
−Γ′(1)=γ
◼
PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)
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