09/12/2019

Uma curiosidade sobre a constante de Euler-Mascheroni

Em explicações, às vezes aparecem-nos coisas que desconhecíamos, ou que não tínhamos notado até esse momento.
Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
γ=Γ(1)

Onde γ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de γ, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.

Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).

https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4

Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :

γ=limn(nk=11klnn)


E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass

1Γ(x)=xeγxk=1(1+xk)exk


Como função auxiliar vou introduzir a função digama, ψ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é

ψ(x):=(lnΓ(x))=Γ(x)Γ(x)


Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
lnΓ(x)=lnx+γx++k=1[ln(k+xk)xk]


Derivando ambos os membros temos
ψ(x)=1x+γ++k=1[1k+x1k]

Para x=1 temos Γ(1)Γ(1)=1+γ++k=1[1k+11k]


Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para 1 e Γ(1)=0!=1

Sai 

Γ(1)=γ



PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)

Sem comentários:

Enviar um comentário