Um raio

Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.

Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:

$A=(-4,0)$, $B=\left(0, 4 \tan 30^o\right)=\left(0, \frc{4\sqrt{3}}{3}\right)$ e  $C=(4,0)$

O perímetro é $p=8+2\times\frc{4}{\cos 30^o}=8+2\times\frc{8}{\sqrt{3}}$

E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:

\[r=\frc{ay_A+by_B+cy_C}{p}=\frc{8\times\frc{4\sqrt{3}}{3} }{8+\frc{16}{\sqrt{3}}}=8-4\sqrt{3}\]

Indo à calculadora

Portanto, $1.07$
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]

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Vou começar por redesenhar o triângulo.

(O desenho foi feito no geogebra)
Como $A\hat BC=120^0$ então $B\hat{C}A=B\hat{A}C=\displaystyle\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$. Para facilitar a exposiçao vou desenhar os pontos $I$ (Incentro do triângulo $[ABC]$), $D$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AB]$ e $E$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AC]$.

Os triângulos $[AEI]$ e $[ADI]$ são semelhantes e têm as mesmas dimensões, por serem ambos rectângulos com a mesma hipotenusa e um cateto igual (ao raio da circunferência).
Isso significa que os ângulos $I\hat{A}E$ e $I\hat{A}D$ têm a mesma amplitude, que é $\displaystyle\frac{30^0}{2}=15^0$.
Então
\[ \tan 15^0 = \frac{{\overline {EI} }}{4} \Leftrightarrow 4\tan 15^0 = \overline {EI} \]


Ora, $\overline {EI} $ é o raio $r$ pedido.
Assim sendo $r=\overline {EI} = 4\tan 15^0\approx{1,07179676972}\approx{1,07}$

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Fórmulas de Viéte

 

Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: \[ \cos (nx) + i\sin (nx) = e^{nxi} = \left( {\cos x + i\sin x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k} \] Como \[ i = e^{i\frac{\pi }{2}} \] Então \begin{eqnarray*} { \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k}}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{\pi }{2}} } \right)^{n - k} }\\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{{(n - k)\pi }}{2}} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {\cos \frac{{(n - k)\pi }}{2} + i\sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \right)} \\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}+i\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \end{eqnarray*} Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos \[\cos (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}\] \[\sin (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}\]

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PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de $n=2$ até $n=10$, gerados com o Mathematica 14.