25/09/2024

Um raio

Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.
Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:
A=(4,0), B=(0,4tan30o)=(0,433)C=(4,0)
O perímetro é p=8+2×4cos30o=8+2×83
E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:
r=ayA+byB+cyCp=8×4338+163=843
Indo à calculadora
Portanto, 1.07
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]



02/09/2024

Fórmulas de Viéte

 



Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: cos(nx)+isin(nx)=enxi=(cosx+isinx)n=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkink
Como i=eiπ2
Então nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkink=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(eiπ2)nk=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(ei(nk)π2)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(cos(nk)π2+isin(nk)π2)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkcos(nk)π2+ink=0(nk)(cosx)k(sinx)nksin(nk)π2
Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos cos(nx)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkcos(nk)π2
sin(nx)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nksin(nk)π2

PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de n=2 até n=10, gerados com o Mathematica 14.