Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: \[ \cos (nx) + i\sin (nx) = e^{nxi} = \left( {\cos x + i\sin x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k} \] Como \[ i = e^{i\frac{\pi }{2}} \] Então \begin{eqnarray*} { \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k}}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{\pi }{2}} } \right)^{n - k} }\\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{{(n - k)\pi }}{2}} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {\cos \frac{{(n - k)\pi }}{2} + i\sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \right)} \\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}+i\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \end{eqnarray*} Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos \[\cos (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}\] \[\sin (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}\]
PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de $n=2$ até $n=10$, gerados com o Mathematica 14.
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