02/09/2024

Fórmulas de Viéte

 



Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: cos(nx)+isin(nx)=enxi=(cosx+isinx)n=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkink
Como i=eiπ2
Então nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkink=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(eiπ2)nk=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(ei(nk)π2)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nk(cos(nk)π2+isin(nk)π2)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkcos(nk)π2+ink=0(nk)(cosx)k(sinx)nksin(nk)π2
Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos cos(nx)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nkcos(nk)π2
sin(nx)=nk=0(nk)(cosx)k(sinx)nksin(nk)π2

PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de n=2 até n=10, gerados com o Mathematica 14.

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