Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: cos(nx)+isin(nx)=enxi=(cosx+isinx)n=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−kin−k
Como i=eiπ2
Então
n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−kin−k=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−k(eiπ2)n−k=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−k(ei(n−k)π2)=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−k(cos(n−k)π2+isin(n−k)π2)=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−kcos(n−k)π2+in∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−ksin(n−k)π2
Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos
cos(nx)=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−kcos(n−k)π2
sin(nx)=n∑k=0(nk)(cosx)k(sinx)n−ksin(n−k)π2
PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de n=2 até n=10, gerados com o Mathematica 14.
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