A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora.
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática1 . Apenas fórmulas... matemáticas.
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).
Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação y=ax2+bx+c, a≠0
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.
Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!
No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.
Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.
Considere-se uma recta d e um ponto F exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da recta d chamamos parábola.
O ponto F chama-se foco e a recta d chama-se directriz.
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Vamos considerar d uma recta horizontal, com equação y=yd onde yd∈R, e F o ponto de coordenadas (xF,yF). xF e yF também são números reais, mas como pela definição não podemos ter yF=yd vamos começar por considerar yF>yd.
De acordo com a definição, se P(x,y) é um ponto da parábola então d(P,F)=d(P,d)
Ou seja,
√(x−xF)2+(y−yF)2=|y−yd|
Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos
(x−xF)2+(y−yF)2=(y−yd)2
que é equivalente a
(x−xF)2=(y−yd)2−(y−yF)2
e por sua vez, a
(x−xF)2=(y−yd−y+yF)(y−yd+y−yF)
e a
(x−xF)2=(yF−yd)(2y−yd−yF)
logo
y=12(yF−yd)(x−xF)2+yF+yd2
ou, na versão que me vai dar mais jeito
y=12(yF−yd)x2−xF(yF−yd)x+x2F2(yF−yd)+yF+yd2
Portanto, temos uma equação do tipo y=ax2+bx+c
com
{a=12(yF−yd)b=−xFyF−ydc=x2F2(yF−yd)+yF+yd2
Agora é só resolver o sistema em ordem a xF,yF e yd. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
⇔{a=12(yF−yd)−b2a=xFc=b24a+yF+yd2
⇔{yF−yd=12axF=−b2ayF+yd=2c−b22a
⇔{2yd=2c−b22a−12axF=−b2a2yF=12a+2c−b22a
⇔{yd=4ac−b2−14axF=−b2ayF=1+4ac−b24a
e fazendo Δ=b2−4ac
temos
⇔{yd=−1+Δ4axF=−b2ayF=1−Δ4a
As fórmulas continuam válidas se yd>yF (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são (−b2a,1−Δ4a)
e uma equação da directriz é y=−1+Δ4a
Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.
Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?
PS:
- Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo y=ax2+bx+c', mas permitam-me o abuso de linguagem
- Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
- Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
- Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
- Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
- Texto escrito num Raspberry pi 4.
1 Nunca subestimem o poder da ignorância.
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