Cónicas - Parte 1 : Três versões diferentes

Os próximos textos sobre cónicas vão ter dedicatórias.
Vou dedicar este post a duas pessoas. Ao meu pai (ontem foi dia do pai), e à professora Celina Andrade que em 1994/95 me apresentou as cónicas no ensino secundário.

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Como consequência do texto $P$ o primo do $\pi$ decidi escrever uma sequência de alguns posts dedicados a cónicas.

Neste primeiro texto vou apenas definir cónicas, de três formas diferentes.
Nesta sequência de textos não vou demonstrar algumas afirmações, não porque seja difícil, mas porque já tive nas mãos fichas de exercícios de algumas faculdades que propõem essas demonstrações como exercícios.
Não estou interessado que que este blog seja uma fonte de copianço, por isso, neste post, tudo o que eu não provar, deixo como exercício para o leitor interessado.
Curiosamentte, eu aprendi e foram-me feitas as demonstrações de muitas destas coisas em aulas quando eu estava no secundário.
Se calhar ainda escrevo as provas em $\LaTeX$ e guardo algures.

No final de cada texto haverá uma lista de exercícios, com soluções mas sem resoluções (pelo menos inicialmente). A ideia é resolvê-los recorrendo apenas ao conteúdo do texto.

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Em 1994, na Escola Secundária Francisco Franco, o grupo de estágio de professores de Matemática costumava propor problemas, e premiar as resoluções. Eu era aluno do 11º ano. Resolvi um problema, julgo que sobre transporte de soldados. Ganhei o prémio: a minha primeira calculadora gráfica programável. Uma Casio fx-6300G. Aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Por exemplo, foi lá que vi pela primeira vez o conceito de integral definido, e foi graças a essa calculadora que aprendi a integrar. Atenção: a calculadora não tem computação algébrica, nem sequer integrais, mas no capítulo onde ensina a programar tem como exemplo a regra de Simpson, e quem escreveu aquele manual fez um bom trabalho.
Em 1994, eu nem tinha computador.
Como eu disse, aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Escrevi alguns dos meus primeiros programas (e até jogos), que se revelaram ferramentas bem úteis na compreensão de alguns conceitos nomeadamente em Física e Matemática.
Sem a calculadora também chegaria lá, só levaria mais tempo (só por curiosidade... tanto antes como depois de ter calculadora, até ao fim do secundário sempre tive a nota máxima a Matemática)
Aquela calculadora tinha apenas 400 bytes de memória. Portanto o código era escrito de forma optimizada e sem comentários.
Um dos meus primeiros programas foi de cónicas.
Não pensem que fazia algo 'óbvio' que até já vem nas calculadoras actuais.
O que esse programa fazia (e se calhar, como fazia), será assunto de um texto futuro e de mais um documento para a secção de material deste blog.
Como sempre, é apenas Matemática.

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Versão 1: Secções de uma superfície cónica.

Com um título destes se calhar eu devia definir rigorosamente o que é uma superfície cónica, mas não o vou fazer.

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Como eu já disse algumas vezes, o excesso de rigor, não é didáctico, e acabamos a criar "monstros abstractos", que conseguem por pessoas a disparatar sem ter noção que estão a disparatar.
Assim sendo gerei e partilho uma animação feita com o auxílio do geogebra.
(Foi gerada a partir de equações paramétricas que deduzi "em cima do joelho", e isso não se faz sem saber definir as coisas rigorosamente...)

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A partir desta animação, quem estiver mesmo interessado consegue escrever uma definição rigorosa de superfície cónica.
Ou seja, é uma coisa destas:

Quem se atrever a utilizar um desenho/imagem como "definição rigorosa", está convidado a deixar de ler este texto e a não voltar...

Uma parábola é a curva que se obtém quando se intersecta um plano estritamente paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com a superfície cónica.

Uma elipse é a curva que se obtém quando se intersecta um plano não paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com apenas uma das folhas da superfície cónica.

(Assim, nesta definição, uma circunferência é um caso particular de uma elipse)

Se o plano intercectar as duas folhas (e não o fizer numa recta) obtemos uma hipérbole.

(As imagens de fundo cinzento vieram da Wikipedia, mas são facilmente geravei no Geogebra, no Wolfram Mathematica, etc...)

Versão 2: Propriedades focais.

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a soma das suas distancias a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos.

Na animação $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\text{constante}$.

Hipérbole

Hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a diferença em módulo das suas diferenças a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos
Essa diferença é inferior à distância entre os focos.

Na animação $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\text{constante}$.

Parábola

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola. O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

Versão 3: Foco e directriz

Cónica

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano em que a razão entre a distância ao ponto $F$ e a distância à recta $\mathcal{d}$ é constante chamamos cónica.

O ponto $F$ chama-se foco a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz. e a tal razão constante chama-se excentricidade. Com esta definição faz sentido que a excentricidade seja estritamente maior do que zero.

• Se a excentricidade for inferior a $1$ a cónica designa-se elipse.
• Se a excentricidade for igual a $1$ a cónica designa-se parábola.(Coincide com a versão 2)
• Se a excentricidade for superior a $1$ a cónica designa-se hipérbole.

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Estes focos coincidem com os da versão 2.

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Estas três definições são "quase equivalentes" (permitam-me o abuso de linguagem).
Não é verdade que as 3 sejam equivalentes sem proceder a alguns ajustes.
As versões 1 e 2 permitem enquadrar a circunferência como uma elipse. A versão 3 precisa de algumas afinações para isso acontecer. A equivalência entre as versões 1 e 2 pode ser provada recorrendo às esferas de Dandelin . A primeira vez que a vi foi no livro Calculus vol I de Tom M. Apostol. (Sem querer ser mau, tenha em conta que o livro já tem alguns anos, e sugiro a quem o quiser consultar, se tiver hipótese, que evite traduções... recorra ao original).

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(Sugiro, sem recorrer a tecnologias, a quem estiver interessado no próximo post)

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Nota: eu sou o autor destes exercícios e das soluções.

1. A elipse da animação na versão 2 tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 12.
   Determine:
   1. As equações reduzidas as rectas a tracejado representadas na figura.

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      $$ y=\frc{3}{4}x$$ e $$y=-\frc{4}{3}x$$

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   2. A excentricidade da elipse, e as equações das possíveis diretrizes.(Ver versão 3)

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      Directrizes: $y=-\frc{4}{3}x +\frc{304}{25}$ e $y=-\frc{4}{3}x -\frc{304}{25}$
      Excentricidade: $$e=\frc{5}{6}$$

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   3. Uma equação cartesiana da elipse na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$ 20x^2-24xy+27y^2-396=0$$

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2. Agora, considere uma hipérbole que tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 8.
   Determine:
   1. As equações reduzidas das possíveis directrizes, e a excentricidade da hipérbole.(Ver versão 3)

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      Directrizes:$$ y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$$ e $$y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$$ Excentricidade $$e=\frac{5}{4}$$

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   2. Uma equação cartesiana da hipérbole na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$ 7y^2-24xy+144=0$$

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   3. As equações reduzidas das assímptotas. Note que esta hiperbole tem duas assimptotas (oblíquas).

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      $$ y=0$$ e $$y=\frc{24}{7}x$$

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3. Continuando a não recorrer a informações sobre cónicas fora das dadas neste texto, determine as coordenadas dos focos. equações reduzidas das directrizes, e directrizes da hipérbole de equação $xy=1$.

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   Focos:$$ \left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$$ e $$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$$ Excentricidade $$e=\sqrt{2}$$ Directrizes $$y=-x+\sqrt{2} $$ e $$y=-x-\sqrt{2}$$

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4. Considere a parábola de foco no ponto de coordenadas $(0,5)$ e directriz a recta de equação $y=0$.
   1. Escreva uma equação dessa parábola, na forma $y=ax^2+c$

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      $$y=\frac{1}{10}x^2+\frac{5}{2}$$

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   2. A partir da equação da alínea anterior, escreva, na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ uma equação da parábola de foco no ponto de coordenadas $(4,3)$ e directriz de equação $y=-\frc{3}{4}x$. $A,B,C,D,E,F$ devem ser números inteiros.

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      $$16x^2-24xy+9y^2-150x-200y+625=0$$

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PS:

• Chamo à atenção que eu, propositadamente, nos exercícios pus soluções sem resoluções. Não é suposto usar 'equações reduzidas' de hiperboles nem de elipses nem 'reduções aos eixos principais', nem estudo algébrico de formas quadráticas... isso fica para textos futuros. Permito o uso de matrizes rotação (mas não obrigo). Para além de coisas elementares (distâncias euclidianas, quadrados de binómios, principio de equivalência de equações)...também podem (mas não precisam de) usar a fórmula da "distância de um ponto a uma recta" se souberem, se não souberem e tiverem curiosidade usem este botão:

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  Distância do ponto de coordenadas $\left(x_0,y_0\right)$ à recta de equação $ax+by+c=0$ \[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

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  Não é para usar ferramentas 'não elementares', e eu tenho noção que com esta limitação, as resoluções podem ser bem chatas.
  Usem a imaginação.
  Já agora, as IAs a que eu recorri disparataram, por isso tenho mesmo curiosidade em saber se alguém chega a resoluções correctas. [Elas existem e não são únicas!]
• CarlosPaulices no século XXI:Descodificando um programa de um caderno com 30 anos - Parte I
• CarlosPaulices no século XXI: Tempo
• A applet geogebra foi inicialmente escrita para o post Cónicas: uma definição excêntrica, do blog Carlos Paulices no século XXI, e foi adicionada ao texto no dia 1 de Abril de 2025
• Applet Geogebra da versão 3 em https://www.geogebra.org/m/vk8wha34

P, o primo do π

 Em https://www.facebook.com/share/r/1A5j8LkLf2/, a Inês Guimarães (Mathgurl) apresentou-nos esta propriedade:

Em qualquer parábola, se traçarmos uma paralela à tangente ao vértice que passa pelo foco, ela corta a parábola em dois pontos, $A$ e $B$.
O quociente entre o comprimento do arco de parábola que une os pontos $A$ e $B$ e o comprimento do menor segmento que une o foco à directriz é constante.
Vamos chamar $P$ a essa constante, e ainda temos que \[P=\ln \left(1+\sqrt{2})\right)+\sqrt{2}\]

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Este $P$ é designado por constante universal das parábolas.

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A afirmação de que $P$ é constante é gira... A primeira coisa que me ocorreu foi "eu acho que sei provar isso". E de facto, sei. E provei. Deixei o meu rascunho manuscrito na minha página do facebook . Hoje vou apenas reescrever essa prova aqui, com mais algum cuidado.
Sem perda de generalidade, vamos supor que a equação da parábola é \[y=ax^2+bx+c\] com $a>0$ e $b,c\in\R$. Na verdade, para a afirmação feita eu até podia considerar $b=c=0$, mas não o vou fazer.
Neste blog, no post do dia 22 de Agosto de 2024 eu mostrei que as coordenadas do foco desta parábola são \[\left(x_F,y_F\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\] onde $\Delta=b^2-4ac$

Então, para determinar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ apenas tenho de resolver a equação \[ax^2+bx+c=y_F\] Ou seja \begin{eqnarray*} {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-\Delta}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-b^2+4ac}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+4ac =1-b^2+4ac}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+b^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{(2ax+b)^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax+b =\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax =-b\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{x =\frac{-b\pm 1}{2a}} \end{eqnarray*} Assim sendo temos \[A\left(\frac{-b- 1}{2a},y_F\right)\text{ ; }B\left(\frac{-b+ 1}{2a},y_F\right)\] O comprimento do arco de parábola é dado pela conhecida fórmula \[ l = \int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} \] Onde $x_A$ e $x_B$ são as abcissas dos pontos $A$ e $B$, respectivamente.
Portanto, vamos lá a isso \begin{eqnarray*} {l}&{=}&{\int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}}\\ { }&{=}&{\int\limits_{\frc{-b- 1}{2a}}^{\frc{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}} \end{eqnarray*} Para calcular este integral dá-me jeito usar a substituição $ \sh \gamma=2ax+b $ ou seja $\gamma=\argsh \left(2ax+b\right)$ e $x=\frac{\sh \gamma -b}{2a}$ que nos leva a \[\frac{dx}{d\gamma}=\frac{\ch \gamma}{2a}\] por outro lado \[ x=x_A \Rightarrow \gamma=\argsh(-1)=-\argsh 1\] \[ x=x_B \Rightarrow \gamma=\argsh 1\] Então \begin{eqnarray*} {\int\limits_{\frac{-b- 1}{2a}}^{\frac{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}}&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{argsh 1} {\sqrt {1 + \shq \gamma } \ch \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\chq \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\frac{ 1+\ch\left(2\gamma\right)}{2} d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {1+\ch\left(2\gamma\right) d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \frac{{\sh(2\gamma )}}{2}} \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \sh \gamma \ch \gamma } \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ 2 \argsh 1 + 2\sh (\argsh 1) \ch (\argsh 1) \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + 1 \sqrt{1+1} \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right] } \end{eqnarray*} A distância entre o foco e a directriz, é o dobro da distância do foco ao vértice.
Assim\[d(F,V)=2\left(y_F-y_V\right)=2\left(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-\Delta}{4a}\right)=\frac{1}{2a}\].

Notem que $b$ e $c$ desapareceram dos cálculos, portanto, eu podia mesmo ter desaparecido com eles logo no princípio.

Assim, finalmente \[P=\frac{\frc{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right]}{\frc{1}{2a}}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}\]

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Será que existem "constantes" deste tipo para as hipérboles e elipses?
Eu tenho a resposta... mas vão ter de esperar, ou tentar chegar lá sozinhos.

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PS: Para quem ainda não sabe, em Setembro de 2024, durante uma crise convulsiva, eu parti uma vértebra. Sinto dores até hoje... Portanto os meus posts passaram a ser ainda mais irregulares. Podem ir passando por aqui.

Uma fórmula para as coordenadas do foco de uma parábola

 A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora. 
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática¹ . Apenas fórmulas... matemáticas. 
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).

Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.

Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!

No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.

Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.

O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

A dedução que apresento aqui, é mais sofisticada do que a que fiz na altura.
Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja, \[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\] Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos \[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\] que é equivalente a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\] e por sua vez, a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\] e a \[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\] logo \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\] ou, na versão que me vai dar mais jeito \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\] Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$ com \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ {b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\ {c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ { - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\ {c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}} \end{array}} \right. \] e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}} \end{array}} \right. \] As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\] Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.

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Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?

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PS:

• Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
• Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
• Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
  
• Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
• Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
• Texto escrito num Raspberry pi 4.

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¹ Nunca subestimem o poder da ignorância.