Cónicas - Parte 1 : Três versões diferentes

Os próximos textos sobre cónicas vão ter dedicatórias.
Vou dedicar este post a duas pessoas. Ao meu pai (ontem foi dia do pai), e à professora Celina Andrade que em 1994/95 me apresentou as cónicas no ensino secundário.

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Como consequência do texto $P$ o primo do $\pi$ decidi escrever uma sequência de alguns posts dedicados a cónicas.

Neste primeiro texto vou apenas definir cónicas, de três formas diferentes.
Nesta sequência de textos não vou demonstrar algumas afirmações, não porque seja difícil, mas porque já tive nas mãos fichas de exercícios de algumas faculdades que propõem essas demonstrações como exercícios.
Não estou interessado que que este blog seja uma fonte de copianço, por isso, neste post, tudo o que eu não provar, deixo como exercício para o leitor interessado.
Curiosamentte, eu aprendi e foram-me feitas as demonstrações de muitas destas coisas em aulas quando eu estava no secundário.
Se calhar ainda escrevo as provas em $\LaTeX$ e guardo algures.

No final de cada texto haverá uma lista de exercícios, com soluções mas sem resoluções (pelo menos inicialmente). A ideia é resolvê-los recorrendo apenas ao conteúdo do texto.

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Em 1994, na Escola Secundária Francisco Franco, o grupo de estágio de professores de Matemática costumava propor problemas, e premiar as resoluções. Eu era aluno do 11º ano. Resolvi um problema, julgo que sobre transporte de soldados. Ganhei o prémio: a minha primeira calculadora gráfica programável. Uma Casio fx-6300G. Aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Por exemplo, foi lá que vi pela primeira vez o conceito de integral definido, e foi graças a essa calculadora que aprendi a integrar. Atenção: a calculadora não tem computação algébrica, nem sequer integrais, mas no capítulo onde ensina a programar tem como exemplo a regra de Simpson, e quem escreveu aquele manual fez um bom trabalho.
Em 1994, eu nem tinha computador.
Como eu disse, aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Escrevi alguns dos meus primeiros programas (e até jogos), que se revelaram ferramentas bem úteis na compreensão de alguns conceitos nomeadamente em Física e Matemática.
Sem a calculadora também chegaria lá, só levaria mais tempo (só por curiosidade... tanto antes como depois de ter calculadora, até ao fim do secundário sempre tive a nota máxima a Matemática)
Aquela calculadora tinha apenas 400 bytes de memória. Portanto o código era escrito de forma optimizada e sem comentários.
Um dos meus primeiros programas foi de cónicas.
Não pensem que fazia algo 'óbvio' que até já vem nas calculadoras actuais.
O que esse programa fazia (e se calhar, como fazia), será assunto de um texto futuro e de mais um documento para a secção de material deste blog.
Como sempre, é apenas Matemática.

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Versão 1: Secções de uma superfície cónica.

Com um título destes se calhar eu devia definir rigorosamente o que é uma superfície cónica, mas não o vou fazer.

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Como eu já disse algumas vezes, o excesso de rigor, não é didáctico, e acabamos a criar "monstros abstractos", que conseguem por pessoas a disparatar sem ter noção que estão a disparatar.
Assim sendo gerei e partilho uma animação feita com o auxílio do geogebra.
(Foi gerada a partir de equações paramétricas que deduzi "em cima do joelho", e isso não se faz sem saber definir as coisas rigorosamente...)

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A partir desta animação, quem estiver mesmo interessado consegue escrever uma definição rigorosa de superfície cónica.
Ou seja, é uma coisa destas:

Quem se atrever a utilizar um desenho/imagem como "definição rigorosa", está convidado a deixar de ler este texto e a não voltar...

Uma parábola é a curva que se obtém quando se intersecta um plano estritamente paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com a superfície cónica.

Uma elipse é a curva que se obtém quando se intersecta um plano não paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com apenas uma das folhas da superfície cónica.

(Assim, nesta definição, uma circunferência é um caso particular de uma elipse)

Se o plano intercectar as duas folhas (e não o fizer numa recta) obtemos uma hipérbole.

(As imagens de fundo cinzento vieram da Wikipedia, mas são facilmente geravei no Geogebra, no Wolfram Mathematica, etc...)

Versão 2: Propriedades focais.

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a soma das suas distancias a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos.

Na animação $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\text{constante}$.

Hipérbole

Hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a diferença em módulo das suas diferenças a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos
Essa diferença é inferior à distância entre os focos.

Na animação $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\text{constante}$.

Parábola

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola. O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

Versão 3: Foco e directriz

Cónica

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano em que a razão entre a distância ao ponto $F$ e a distância à recta $\mathcal{d}$ é constante chamamos cónica.

O ponto $F$ chama-se foco a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz. e a tal razão constante chama-se excentricidade. Com esta definição faz sentido que a excentricidade seja estritamente maior do que zero.

• Se a excentricidade for inferior a $1$ a cónica designa-se elipse.
• Se a excentricidade for igual a $1$ a cónica designa-se parábola.(Coincide com a versão 2)
• Se a excentricidade for superior a $1$ a cónica designa-se hipérbole.

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Estes focos coincidem com os da versão 2.

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Estas três definições são "quase equivalentes" (permitam-me o abuso de linguagem).
Não é verdade que as 3 sejam equivalentes sem proceder a alguns ajustes.
As versões 1 e 2 permitem enquadrar a circunferência como uma elipse. A versão 3 precisa de algumas afinações para isso acontecer. A equivalência entre as versões 1 e 2 pode ser provada recorrendo às esferas de Dandelin . A primeira vez que a vi foi no livro Calculus vol I de Tom M. Apostol. (Sem querer ser mau, tenha em conta que o livro já tem alguns anos, e sugiro a quem o quiser consultar, se tiver hipótese, que evite traduções... recorra ao original).

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(Sugiro, sem recorrer a tecnologias, a quem estiver interessado no próximo post)

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Nota: eu sou o autor destes exercícios e das soluções.

1. A elipse da animação na versão 2 tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 12.
   Determine:
   1. As equações reduzidas as rectas a tracejado representadas na figura.

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      $$ y=\frc{3}{4}x$$ e $$y=-\frc{4}{3}x$$

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   2. A excentricidade da elipse, e as equações das possíveis diretrizes.(Ver versão 3)

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      Directrizes: $y=-\frc{4}{3}x +\frc{304}{25}$ e $y=-\frc{4}{3}x -\frc{304}{25}$
      Excentricidade: $$e=\frc{5}{6}$$

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   3. Uma equação cartesiana da elipse na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$ 20x^2-24xy+27y^2-396=0$$

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2. Agora, considere uma hipérbole que tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 8.
   Determine:
   1. As equações reduzidas das possíveis directrizes, e a excentricidade da hipérbole.(Ver versão 3)

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      Directrizes:$$ y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$$ e $$y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$$ Excentricidade $$e=\frac{5}{4}$$

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   2. Uma equação cartesiana da hipérbole na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$ 7y^2-24xy+144=0$$

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   3. As equações reduzidas das assímptotas. Note que esta hiperbole tem duas assimptotas (oblíquas).

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      $$ y=0$$ e $$y=\frc{24}{7}x$$

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3. Continuando a não recorrer a informações sobre cónicas fora das dadas neste texto, determine as coordenadas dos focos. equações reduzidas das directrizes, e directrizes da hipérbole de equação $xy=1$.

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   Focos:$$ \left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$$ e $$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$$ Excentricidade $$e=\sqrt{2}$$ Directrizes $$y=-x+\sqrt{2} $$ e $$y=-x-\sqrt{2}$$

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4. Considere a parábola de foco no ponto de coordenadas $(0,5)$ e directriz a recta de equação $y=0$.
   1. Escreva uma equação dessa parábola, na forma $y=ax^2+c$

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      $$y=\frac{1}{10}x^2+\frac{5}{2}$$

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   2. A partir da equação da alínea anterior, escreva, na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ uma equação da parábola de foco no ponto de coordenadas $(4,3)$ e directriz de equação $y=-\frc{3}{4}x$. $A,B,C,D,E,F$ devem ser números inteiros.

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      $$16x^2-24xy+9y^2-150x-200y+625=0$$

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PS:

• Chamo à atenção que eu, propositadamente, nos exercícios pus soluções sem resoluções. Não é suposto usar 'equações reduzidas' de hiperboles nem de elipses nem 'reduções aos eixos principais', nem estudo algébrico de formas quadráticas... isso fica para textos futuros. Permito o uso de matrizes rotação (mas não obrigo). Para além de coisas elementares (distâncias euclidianas, quadrados de binómios, principio de equivalência de equações)...também podem (mas não precisam de) usar a fórmula da "distância de um ponto a uma recta" se souberem, se não souberem e tiverem curiosidade usem este botão:

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  Distância do ponto de coordenadas $\left(x_0,y_0\right)$ à recta de equação $ax+by+c=0$ \[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

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  Não é para usar ferramentas 'não elementares', e eu tenho noção que com esta limitação, as resoluções podem ser bem chatas.
  Usem a imaginação.
  Já agora, as IAs a que eu recorri disparataram, por isso tenho mesmo curiosidade em saber se alguém chega a resoluções correctas. [Elas existem e não são únicas!]
• CarlosPaulices no século XXI:Descodificando um programa de um caderno com 30 anos - Parte I
• CarlosPaulices no século XXI: Tempo
• A applet geogebra foi inicialmente escrita para o post Cónicas: uma definição excêntrica, do blog Carlos Paulices no século XXI, e foi adicionada ao texto no dia 1 de Abril de 2025
• Applet Geogebra da versão 3 em https://www.geogebra.org/m/vk8wha34

Comprimentos de curvas

 Suponhamos que temos uma curva, em $\R^n$ parametrizada pela função $$\gamma:I\subseteq \R \to \R^n$$ Rigorosamente, gosto de chamar a estas curvas linhas parametrizadas mas percebi que cada um chama o que lhe apetecer.
Se $I$ for um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, chamamos à curva caminho e o comprimento do caminho é dado por

. \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt \] Eu aprendi isto na licenciatura,mas isto encontra-se em vários livros de análise e cálculo em $\R^n$ (Com demonstrações correctas).
Por exemplo, a circunferência de centro $(a,b)$ e raio $r>0$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {a + r\cos t,b + r\sen t} \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right] \] e o comprimento da circunferência (ou se preferirem, o perímetro da circunferência) é dado por: \[ \begin{eqnarray*} {L\left( \gamma \right)}&{ = }&{\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\left( { - r\sen t,r\cos t} \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {\left( { - r\sen t} \right)^2 + \left( {r\cos t} \right)^2 } } dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( {\sen t} \right)^2 + r^2 \left( {\cos t} \right)^2 } } dt } \\ %{ }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( \senEL{2} t + \cos ^2 t} \right)} } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 } } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } r dt }\\ { }&{ = }&{2\pi r} \end{eqnarray*} \] É óbvio que o centro não poderia interferir no perímetro da circunferência, e dada a definição história de $\pi$, este exercício é bem estúpido. Mas pronto, é uma verificação, e vou repetir a estupidez mais uma vez neste post.
O gráfico de uma função $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ é um caminho que pode ser parametrizado pela parametrização canónica:
\[\gamma(t)=(t,f(t)),t\in[a,b]\] e o seu comprimento é, naturalmente \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\left\| {\left( {1,f'\left( t \right)} \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'\left( t \right)} \right)^2 } } dt \] Fórmula que já usei aqui neste blog, no post $P$, o primo do $\pi$
(é por causa desse texto, que estou a escrever este... é que eu tenciono usar isto, para, bem, depois se tiverem curiosidade, virão cá ver)
Uma curva em coordenadas polares, $r=\rho\left(\theta\right), \theta\in\left[\theta_1,\theta_2\right]$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right)\cos t,\rho \left( t \right)\sen t} \right),t \in \left[ {\theta _1 ,\theta _2 } \right] \] E o seu comprimento é então \[ \begin{array}{l} L\left( \gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t,\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)} \right\|} dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 - 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ % = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t} } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt \end{array} \] (Eu gosto do aspecto desta fórmula...)
Vamos a mais um exempo "estúpido"? Uma circunferência de raio $R$ ($R>0$), e centro na origem, tem como equação,em coordenadas polares, $r=R$, ou seja $\rho(\theta)=R$ com $\theta\in[0,2\pi]$ então, (risos) \[L(\gamma)=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {R^2 + 0^2 }} =2\pi R \] Daqui a uns tempos uso isto para coisas mais engraçadas.

P, o primo do π

 Em https://www.facebook.com/share/r/1A5j8LkLf2/, a Inês Guimarães (Mathgurl) apresentou-nos esta propriedade:

Em qualquer parábola, se traçarmos uma paralela à tangente ao vértice que passa pelo foco, ela corta a parábola em dois pontos, $A$ e $B$.
O quociente entre o comprimento do arco de parábola que une os pontos $A$ e $B$ e o comprimento do menor segmento que une o foco à directriz é constante.
Vamos chamar $P$ a essa constante, e ainda temos que \[P=\ln \left(1+\sqrt{2})\right)+\sqrt{2}\]

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Este $P$ é designado por constante universal das parábolas.

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A afirmação de que $P$ é constante é gira... A primeira coisa que me ocorreu foi "eu acho que sei provar isso". E de facto, sei. E provei. Deixei o meu rascunho manuscrito na minha página do facebook . Hoje vou apenas reescrever essa prova aqui, com mais algum cuidado.
Sem perda de generalidade, vamos supor que a equação da parábola é \[y=ax^2+bx+c\] com $a>0$ e $b,c\in\R$. Na verdade, para a afirmação feita eu até podia considerar $b=c=0$, mas não o vou fazer.
Neste blog, no post do dia 22 de Agosto de 2024 eu mostrei que as coordenadas do foco desta parábola são \[\left(x_F,y_F\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\] onde $\Delta=b^2-4ac$

Então, para determinar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ apenas tenho de resolver a equação \[ax^2+bx+c=y_F\] Ou seja \begin{eqnarray*} {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-\Delta}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-b^2+4ac}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+4ac =1-b^2+4ac}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+b^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{(2ax+b)^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax+b =\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax =-b\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{x =\frac{-b\pm 1}{2a}} \end{eqnarray*} Assim sendo temos \[A\left(\frac{-b- 1}{2a},y_F\right)\text{ ; }B\left(\frac{-b+ 1}{2a},y_F\right)\] O comprimento do arco de parábola é dado pela conhecida fórmula \[ l = \int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} \] Onde $x_A$ e $x_B$ são as abcissas dos pontos $A$ e $B$, respectivamente.
Portanto, vamos lá a isso \begin{eqnarray*} {l}&{=}&{\int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}}\\ { }&{=}&{\int\limits_{\frc{-b- 1}{2a}}^{\frc{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}} \end{eqnarray*} Para calcular este integral dá-me jeito usar a substituição $ \sh \gamma=2ax+b $ ou seja $\gamma=\argsh \left(2ax+b\right)$ e $x=\frac{\sh \gamma -b}{2a}$ que nos leva a \[\frac{dx}{d\gamma}=\frac{\ch \gamma}{2a}\] por outro lado \[ x=x_A \Rightarrow \gamma=\argsh(-1)=-\argsh 1\] \[ x=x_B \Rightarrow \gamma=\argsh 1\] Então \begin{eqnarray*} {\int\limits_{\frac{-b- 1}{2a}}^{\frac{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}}&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{argsh 1} {\sqrt {1 + \shq \gamma } \ch \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\chq \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\frac{ 1+\ch\left(2\gamma\right)}{2} d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {1+\ch\left(2\gamma\right) d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \frac{{\sh(2\gamma )}}{2}} \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \sh \gamma \ch \gamma } \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ 2 \argsh 1 + 2\sh (\argsh 1) \ch (\argsh 1) \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + 1 \sqrt{1+1} \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right] } \end{eqnarray*} A distância entre o foco e a directriz, é o dobro da distância do foco ao vértice.
Assim\[d(F,V)=2\left(y_F-y_V\right)=2\left(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-\Delta}{4a}\right)=\frac{1}{2a}\].

Notem que $b$ e $c$ desapareceram dos cálculos, portanto, eu podia mesmo ter desaparecido com eles logo no princípio.

Assim, finalmente \[P=\frac{\frc{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right]}{\frc{1}{2a}}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}\]

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Será que existem "constantes" deste tipo para as hipérboles e elipses?
Eu tenho a resposta... mas vão ter de esperar, ou tentar chegar lá sozinhos.

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PS: Para quem ainda não sabe, em Setembro de 2024, durante uma crise convulsiva, eu parti uma vértebra. Sinto dores até hoje... Portanto os meus posts passaram a ser ainda mais irregulares. Podem ir passando por aqui.

Produto externo (produto vectorial/cross product) como produto matricial

 O produto vectorial, ou como eu prefiro chamar, produto externo, é um produto entre dois vectores cujo resultado é um terceiro, ortogonal aos dois iniciais. No espaço euclidiano $\R^3$ define-se assim:

\[\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right)= \left( {bf - ce,cd - af,ae - bd} \right)\]

Esta definição não é muito simpática, por isso, costuma-se ensinar uma mnemónica que recorre a um simbolo de determinante.

Este produto tem algumas propriedades interessantes.Se ${\vec u}$ , ${\vec v}$ e ${\vec w}$ forem vectores do espaço, e $\alpha$, $\beta$ números reais então: ${\vec u} \times ( \alpha {\vec v}+\beta{\vec w})=\alpha \vec u \times \vec v + \beta \vec u \times \vec w $ Isso significa que a função "multiplicar por um vector" utilizando o produto externo, é uma "aplicação linear". Traduzindo para português, dá para escrever como produto por uma matriz.
Vou deixar aqui duas formas de como o fazer. A prova, visto que é simples, deixo como exercício.
(Assim evito resolver um exercício de álgebra linear a algum aluno mais preguiçoso)
Se os vectores forem vistos como matrizes coluna, então \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{*c} 0 & { - c} & b \\ c & 0 & { - a} \\ { - b} & a & 0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} d \\ e \\ f \end{array}} \right] \] Ou, se forem vistos como matrizes linha \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{c} a & b & c \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{c} 0 & { - f} & e \\ f & 0 & { - d} \\ { - e} & d & 0 \end{array}} \right] \] Estas duas últimas igualdades também mostram que o produto externo por um vector fixo é uma aplicação linear antisimétrica.
Qual é a utilidade disto?
Suponham (por exemplo, informaticamente)  que o ambiente no qual estão a trabalhar não tem o produto externo, e precisam mesmo dele... (já me aconteceu).

Desenhos numa calculadora

Um dos meus (muitos) passatempos é o desenho.

Estive a converter um esboço meu da Kara In-Ze (supergirl/DCAU) numa versão digital.
 Podem visitar a minha galeria DeviantArt clicando na imagem.

Em 1994, quando me ofereceram a minha primeira calculadora gráfica (Casio fx-6300G), explorei como poderia fazer desenhos na calculadora. Assim que aprendi a programar a calculadora numa versão muito elementar do Casio-BASIC (lendo o manual), foi um dos meus primeiros programas.

Em 1996, comprei uma Casio cfx-9800G. Esta calculadora tinha um ecrã maior e tinha matrizes. Matrizes permitiram-me rever os conceitos por detrás do meu programa de desenho.

Em 1997 comprei uma casio cfx-9950G. E nesta criei o meu terceiro programa de desenho.
(A versão final é de 1999, e ainda corre nas calculadoras actuais)

Qual é a Matemática por detrás disto?

O ecrã utilizável tem resolução 127 × 63 pixels. ( $x$ × $y$, não batam, é assim que está no manual da calculadora)

Assim, comecei por definir a janela $[1,127]×[1,63]$ 

A forma mais simples de desenhar é com traços. Matematicamente, um traço pode ser visto como um segmento de recta.  Um segmento de recta era desenhado com o comando "Line", portanto, era possivel.

Então pensei numa forma de, recolhendo as coordenadas do ponto inicial $(x_i,y_i)$ e do ponto final $(x_f,y_f)$, codificá-las num único número através da fórmula:

\[s=100x_i+y_i+\frac{x_f}{1000}+\frac{y_f}{100000}\]

Por exemplo o segmento que une os pontos de coordenadas $(123,45)$ e $(10,60)$ é convertido no número $12345.01060$.

Com isto converti um desenho "sequência de traços" numa lista de números.

O programa da calculadora guarda as listas em colunas de uma matriz (a matriz L da calculadora).

Naturalmente, é fácil reverter o processo... a calculadora, além das operações básicas tem as funções "parte inteira" e "parte fraccionária".

Eu acabei por usar algumas das ideias por detrás deste programa para outras calculadoras.  (Nomeadamente a Ti84plus)

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PS:

1. Inicialmente este post ia ser um vídeo "Aqui há Matemática". Os vídeos ficam para uma próxima oportunidade.
2. Dedico este post a todos os meus ex-explicandos e ex-alunos dos últimos 28 anos.
   (A dedicatória, deve-se ao facto de eu ter cessado funções)
3. Dedico este post também à MathGurl (duvido que ela vá ver isto, é só uma forma de eu vos mandar para o canal dela) .
4. 
   
   
   
   
5. Eu mudei o desenho no dia 23 de Agosto de 2024. O original, está aqui.

Uma parametrização para uma faixa de Möbius

Recentemente, depois de ver o filme "Avengers: Endgame", onde a solução de Tony Stark para um problema físico (não vou dar mais spoilers do que o necessário, se quiserem, vão lá ver o filme) passava por uma faixa de Möbius, andei a fazer umas experiências com a faixa de Möbius.
Não me apeteceu utilizar a Wikipedia... apeteceu-me usar o cérebro.

(Algo que até faço quando uso uma calculadora...quem diria, não é?)

Passo 0:

O que é uma faixa/fita de Möbius?

De forma muito simplista, neste post, a minha faixa de Möbius vai ser a superfície descrita por um segmento de recta que percorre uma circunferência enquanto roda meia volta sobre o seu centro.
Vejam a animação seguinte que percebem melhor,  

Se calhar fica melhor se eu mostrar a superfície a ser desenhada:

Portanto, é boa ideia começar por parametrizar um segmento de recta que dá meia volta!

Passo 1: No plano $xOy$ parametrizar um segmento de recta, centrado na origem, que dá meia volta, em torno da origem.

Dados dois pontos distintos do plano ou do espaço, $A$ e $B$, o segmento $[BA]$ pode ser parametrizado por .
\[X=tA+(1-t)B\] com $t \in [0,1]$

Portanto, se, para um ângulo qualquer de amplitude $\alpha$ considerarmos os pontos da circunferência trigonométrica
\[A=(\cos \alpha,\sen \alpha) \] e \[B=(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)) \]. que são simétricos relativamente à origem $O ( 0,0 )$

O segmento é o conjunto dos pontos
\begin{eqnarray*}
{(x,y)}&=&{t\left(\cos \alpha,\sen \alpha)+(1-t)(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)\right)}\\
{}&=&{\left(t\cos \alpha +(1-t)(\cos (\alpha + \pi),(t\sen \alpha +(1-t)(\sen (\alpha + \pi)\right)}
 \end{eqnarray*}
 Para termos a "meia volta" podemos deixar o ângulo $\alpha$ variar entre $0$ e $\pi$.

Mas como a ideia é que o segmento dê meia volta enquanto percorre uma circunferência, então vou substituir o $\alpha$ por um $\displaystyle \frac{\theta}{2}$ com $\theta$ a variar entre $0$ e $2\pi$

Passo 2: Fazer este segmento girar enquanto percorre uma circunferência de raio $R$

No espaço tridimensional $\R^3$ uma circunferência de raio $R$ centrada na origem e contida no plano $z=0$ pode ser parametrizada por \[ (x,y,z)=(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) \] com \[0\leq\theta <2\pi\]
Para obter o efeito desejado, basta ver que a "semivolta" é dada apenas nas componentes $x$ e $z$, portanto, a equação do percurso do segmento de recta tem de ser:
\begin{eqnarray*}
{ (x,y,z)}&=&{(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) + \left(t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right),0,t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) + (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)\right)}\\
{}&=&{\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)}
\end{eqnarray*}
Passo 3: conclusão.
Então uma parametrização para esta faixa de Möbius é
\[ (x,y,z)=\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)\] Com $0\leq t\leq 1$ e $0\leq \theta < 2\pi $.

A animação que se segue foi gerada com estas equações no software Geogebra

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• Percebeu a dedução? Se sim, qual o comprimento do segmento de recta que está a girar? Como ficaria a parametrização para um segmento de comprimento $L$, centrado na origem?
• As funções trigonométricas dos ângulos $\left(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi\right)$ não foram simplificadas de propósito. Se assim o desejar, simplifique a expressão obtida o melhor que conseguir.

Distância de um ponto a um plano (I).

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica: \[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\] \[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\] \[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

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AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!

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(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)

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Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.

Uma recta giratória (superfície regrada)

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Problema: Identificar o conjunto de todos os pontos que se obtêm rodando a recta $z=mx+b$ com $m\neq 0$ contida no plano $y=R$ em torno do eixo $Oz$, para ângulos $\theta \in \left[0;2\pi\right[ $.

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Possível resolução:
As rotações de ângulo $\theta$ em torno do eixo $Oz$ são dadas pela função \[R_{(z,\theta)}(x,y,z)=\left(x\cos \theta - y\sen \theta,x\sen \theta +y\cos \theta,z\right)\] (A dedução desta fórmula é simples, vou deixá-la ao cargo do leitor...)
Um ponto genérico da recta é \[(x,R,mx+b)\] Portanto após uma rotação, este ponto é transformado em \[\left(X,Y,Z\right)=R_{(z,\theta)}(x,R,mx+b)=\left(x\cos \theta - R\sen \theta,x\sen \theta +R\cos \theta,mx+b\right)\] Ou seja \[ \left\{ {\begin{array}{l} {X = x\cos \theta - R\sen \theta } \\ {Y = x\sen \theta + R\cos \theta } \\ {Z = mx + b} \\ \end{array}} \right. \] Como \begin{eqnarray*} {X^2+Y^2}&{=}&{x^2\cos^2 \theta -2 x R \cos \theta \sen \theta + R^2 \senq \theta + x^2\senq\theta +2 x R \sen\theta \cos \theta +R^2 \cos^2 \theta }\\ {}&{=}&{x^2+R^2}\\ {}&{=}&{\left(\frac{Z-b}{m}\right)^2+R^2} \end{eqnarray*} Ou seja \[X^2+Y^2-\left(\frac{Z-b}{m}\right)^2=R^2\] Esta equação é a equação de um hiperbolóide de uma folha, se $R\neq 0$ e de um cone (infinito) se $R=0$
Abaixo partilho, uma applet Geogebra onde pode manipular os parâmetros da recta original e do hiperbolóide ou cone correspondente.
E abaixo ainda uma animação ver o hiperbolóide "a ser construído" pela recta.(clicando sobre a animação vai ter a uma outra applet geogebra)