Produto externo (produto vectorial/cross product) como produto matricial

 O produto vectorial, ou como eu prefiro chamar, produto externo, é um produto entre dois vectores cujo resultado é um terceiro, ortogonal aos dois iniciais. No espaço euclidiano $\R^3$ define-se assim:

$$\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right)= \left( {bf - ce,cd - af,ae - bd} \right)$$

Esta definição não é muito simpática, por isso, costuma-se ensinar uma mnemónica que recorre a um simbolo de determinante.

Este produto tem algumas propriedades interessantes.Se ${\vec u}$ , ${\vec v}$ e ${\vec w}$ forem vectores do espaço, e $\alpha$, $\beta$ números reais então: ${\vec u} \times ( \alpha {\vec v}+\beta{\vec w})=\alpha \vec u \times \vec v + \beta \vec u \times \vec w$ Isso significa que a função "multiplicar por um vector" utilizando o produto externo, é uma "aplicação linear". Traduzindo para português, dá para escrever como produto por uma matriz.
Vou deixar aqui duas formas de como o fazer. A prova, visto que é simples, deixo como exercício.
(Assim evito resolver um exercício de álgebra linear a algum aluno mais preguiçoso)
Se os vectores forem vistos como matrizes coluna, então $$\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{*c} 0 & { - c} & b \\ c & 0 & { - a} \\ { - b} & a & 0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} d \\ e \\ f \end{array}} \right]$$ Ou, se forem vistos como matrizes linha $$\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{c} a & b & c \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{c} 0 & { - f} & e \\ f & 0 & { - d} \\ { - e} & d & 0 \end{array}} \right]$$ Estas duas últimas igualdades também mostram que o produto externo por um vector fixo é uma aplicação linear antisimétrica.
Qual é a utilidade disto?
Suponham (por exemplo, informaticamente)  que o ambiente no qual estão a trabalhar não tem o produto externo, e precisam mesmo dele... (já me aconteceu).