Problema:
Identificar o conjunto de todos os pontos que se obtêm rodando a recta z=mx+b com m≠0 contida no plano y=R em torno do eixo Oz, para ângulos θ∈[0;2π[.
Possível resolução:
As rotações de ângulo θ em torno do eixo Oz são dadas pela função
R(z,θ)(x,y,z)=(xcosθ−ysenθ,xsenθ+ycosθ,z)
(A dedução desta fórmula é simples, vou deixá-la ao cargo do leitor...)
Um ponto genérico da recta é (x,R,mx+b)
Portanto após uma rotação, este ponto é transformado em
(X,Y,Z)=R(z,θ)(x,R,mx+b)=(xcosθ−Rsenθ,xsenθ+Rcosθ,mx+b)
Ou seja
{X=xcosθ−RsenθY=xsenθ+RcosθZ=mx+b
Como
X2+Y2=x2cos2θ−2xRcosθsenθ+R22senθ+x22senθ+2xRsenθcosθ+R2cos2θ=x2+R2=(Z−bm)2+R2
Ou seja
X2+Y2−(Z−bm)2=R2
Esta equação é a equação de um hiperbolóide de uma folha, se R≠0 e de um cone (infinito) se R=0
Abaixo partilho, uma applet Geogebra onde pode manipular os parâmetros da recta original e do hiperbolóide ou cone correspondente.
E abaixo ainda uma animação ver o hiperbolóide "a ser construído" pela recta.(clicando sobre a animação vai ter a uma outra applet geogebra)
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