Um inteiro às fatias

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Problema: Seja $a_n=2-\displaystyle\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}}$, $n=1,2,...$ .
Mostre que $\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_{119}}$ é um inteiro.

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Proposta de resolução (por Carlos Paulo A. Freitas)
Começarei por procurar outra expressão para $a_n$.
$$\begin{eqnarray*} {a_n}&{=}&{2-\displaystyle\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}} }\\ { }&{=}&{2-\displaystyle\frac{n^2-\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}}{n^4-n^4-\frac{1}{4}} }\\ { }&{=}&{2+4n^2-4\sqrt{n^4+\frac{1}{4} } }\\ { }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{4n^4+1}}\\ { }&{=}&{ 2+4n^2-2\sqrt{4n^4+4n^2+1-4n^2} }\\ { }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+1)^2-(2n)^2} }\\ { }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+1+2n)(2n^2+1-2n)} }\\ { }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+2n+1)(2n^2-2n+1)} }\\ { }&{=}&{\left(\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}\right)^2} \end{eqnarray*}$$ Como $$\sqrt{2n^2+2n+1}>\sqrt{2n^2-2n+1}$$
temos que
$$\sqrt{a_n}=\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}$$
Seja $u_n=\sqrt{2n^2-2n+1}$.
Então $$u_{n+1}=\sqrt{2(n+1)^2-2(n+1)+1}=\sqrt{2n^2+4n+2-2n-2+1}=\sqrt{2n^2+2n+1}$$ Portanto
$$\sqrt{a_n}=u_{n+1}-u_n$$
E então
$$\begin{eqnarray*} {\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_{119}}}&{=}&{u_2-u_1+u_3-u_2+...+u_{120}-u_{119}}\\ { }&{=}&{u_{120}-u_1}\\ { }&{=}&{169-1}\\ { }&{=}&{168} \end{eqnarray*}$$ Existe uma outra resolução, por Américo Tavares em
https://problemasteoremas.wordpress.com/2009/11/06/a-mathematical-reflections-undergraduate-problem/.

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Problema proposto por Américo Tavares no facebook, no dia 4 de Julho de 2017.

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