Problema:
Seja $a_n=2-\displaystyle\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}}$, $n=1,2,...$ . Mostre que
$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_{119}}$ é um inteiro.
Proposta de resolução
(por Carlos Paulo A. Freitas)
Começarei por procurar outra expressão para $a_n$.
\begin{eqnarray*}
{a_n}&{=}&{2-\displaystyle\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}} }\\
{ }&{=}&{2-\displaystyle\frac{n^2-\sqrt{n^4+\frac{1}{4}}}{n^4-n^4-\frac{1}{4}} }\\
{ }&{=}&{2+4n^2-4\sqrt{n^4+\frac{1}{4} } }\\
{ }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{4n^4+1}}\\
{ }&{=}&{ 2+4n^2-2\sqrt{4n^4+4n^2+1-4n^2} }\\
{ }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+1)^2-(2n)^2} }\\
{ }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+1+2n)(2n^2+1-2n)} }\\
{ }&{=}&{2+4n^2-2\sqrt{(2n^2+2n+1)(2n^2-2n+1)} }\\
{ }&{=}&{\left(\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}\right)^2}
\end{eqnarray*}
Como \[\sqrt{2n^2+2n+1}>\sqrt{2n^2-2n+1}\] temos que
\[\sqrt{a_n}=\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}\]
Seja $u_n=\sqrt{2n^2-2n+1}$. Então \[u_{n+1}=\sqrt{2(n+1)^2-2(n+1)+1}=\sqrt{2n^2+4n+2-2n-2+1}=\sqrt{2n^2+2n+1}\]
Portanto
\[\sqrt{a_n}=u_{n+1}-u_n\]
E então
\begin{eqnarray*}
{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_{119}}}&{=}&{u_2-u_1+u_3-u_2+...+u_{120}-u_{119}}\\
{ }&{=}&{u_{120}-u_1}\\
{ }&{=}&{169-1}\\
{ }&{=}&{168}
\end{eqnarray*}
Existe uma outra resolução, por Américo Tavares em https://problemasteoremas.wordpress.com/2009/11/06/a-mathematical-reflections-undergraduate-problem/.
Problema proposto por Américo Tavares no facebook, no dia 4 de Julho de 2017.
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