Sistema não linear (I)Um sistema com somas de potências de desconhecidos

Problema: Se $$\begin{eqnarray*} {a+b+c}&{=}&{2}\\ {a^2+b^2+c^2}&{=}&{6}\\ {a^3+b^3+c^3}&{=}&{8} \end{eqnarray*}$$ então $a^4+b^4+c^4=?$
(Nota do autor do blog: há várias resoluções possíveis para isto... como tal, peço uma que explicite todos os possíveis valores para $a$, $b$ e $c$, e só pelo gozo... não resolva o sistema por substituição!)

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Proposta de resolução (por Carlos Paulo A. Freitas)
Comecemos por considerar o sistema $$\left\{ {\begin{array}{ccc} {a+b+c}&{=}&{2}\\ {a^2+b^2+c^2}&{=}&{6}\\ {a^3+b^3+c^3}&{=}&{8} \end{array}} \right.$$ Note-se que dada a simetria do sistema, se um tripleto de valores for solução do sistema, então, qualquer permutação desse tripleto é solução.
Ora, $a$, $b$ e $c$ são zeros do polinómio $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$.
Expandindo este produto temos $$P(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$$ Ou seja, $$P(x)=x^3-C_1x^2+C_2x-C_3$$ Para encontrar valores numéricos para os coeficientes $C_1$, $C_2$ e $C_3$ vou definir um termo $S_n$ por $$S_n=a^n+b^n+c^n$$ Assim, $C_1=S_1=2$, $S_2=6$ e $S_3=8$.
A igualdade $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$ Pode reescrever-se na forma $$C_1^2=S_2+2C_2$$ E portanto, $C_2=\displaystyle\frac{C_1^2-S_2}{2}=\frac{2^2-6}{2}=-1$
Já só nos falta obter $C_3$.
Para isso comecemos por expandir $(a+b+c)^3$
Ora $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc$$ Que à partida não sugere nada!!!
Mas se atendermos às definições de $C_1$, $C_2$ e $C_3$ podemos notar que $a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2=C_1\cdot C_2 -3 C_3$
E então $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc$$ é equivalente a $$C_1^3=S_3+3(C_1\cdot C_2 -3 C_3 )+6C_3$$ Portanto $$C_3=\frac{C_1^3-3C_1C_2-S_3}{-3}$$ logo $C_3=-2$
Assim sendo o nosso polinómio é: $$\begin{eqnarray*} {P(x)}&{=}&{x^3-2x^2-x+2}\\ {}&{=}&{x^2(x-2)-(x-2)}\\ {}&{=}&{(x^2-1)(x-2)}\\ {}&{=}&{(x+1)(x-1)(x-2)} \end{eqnarray*}$$ Que tem como zeros $-1$, $1$ e $2$.
Assim sendo, as seis possíveis soluções do sistema são as seis permutações destes valores, ou seja $$\begin{eqnarray*} {(a,b,c)}&{=}&{(-1,1,2)\text{ ou} }\\ {(a,b,c)}&{=}&{(1,-1,2)\text{ ou} }\\ {(a,b,c)}&{=}&{(-1,2,1)\text{ ou} }\\ {(a,b,c)}&{=}&{(1,2,-1)\text{ ou} }\\ {(a,b,c)}&{=}&{(2,1,-1)\text{ ou} }\\ {(a,b,c)}&{=}&{(2,-1,1) } \end{eqnarray*}$$ E em qualquer uma delas, $S_4=a^4+b^4+c^4=1+1+16=18$

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O problema original foi-me sugerido por Barbara Fernandes via facebook e inicialmente foi proposto no grupo do facebook Math: An Integral Part of Happiness, caso contrário, eu não tocaria nele.

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