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28/07/2017

Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão I)

No blog CarlosPaulices no século XXI mostrei como cheguei à exponencial complexa a partir de uma equação diferencial de primeira ordem.
Agora, que o (novo) programa de Matemática A 12º (ensino secundário, Portugal), inclui osciladores harmónicos, sugiro outra forma de o fazer.
Actualização: Existe uma versão diferente desta dedução aqui, neste mesmo blog
Sejam $A>0$, $\omega>0$ e $\varphi \in [0,2\pi[ $. Um oscilador harmónico é um sistema constituído por um ponto que se desloca numa recta numérica em determinado intervalo de tempo $I$, de tal forma que a respectiva abcissa é dada por uma função da forma \[x(t)=A \cos (\omega t+ \varphi)\] para cada $t\in I$
Derivando em ordem a $t$ (neste blog utilizarei $ \dot x $ para designar a derivada de $x$ em ordem a $t$), temos \[ \dot x=-A\omega \sen (\omega t + \varphi) \] e consequentemente \[ \ddot x=-A\omega^2 \cos (\omega t + \varphi)=-\omega^2 x \] Portanto, $x(t)= A \cos (\omega t+ \varphi)$ é uma solução da equação diferencial \[ \ddot x=-\omega^2 x \] Na verdade, $x(t)= \mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)$ com $\mathcal{A}>0$ e $\phi \in [0,2\pi[ $ arbitrários, é uma expressão geral para todas as soluções da equação \[ \ddot x=-\omega^2 x \]
Considere-se agora a função \[x(t)=e^{at}\], com $a \in \R \backslash \{0\} $ Derivando em ordem a $t$ , temos \[ \dot x=ae^{at} \] e consequentemente \[ \ddot x=a^2e^{at} \] Portanto, $x(t)=e^{at}$ é uma solução da equação diferencial \[ \ddot x=a^2 x \] Facilmente se reconhece que $x(t)=e^{-at}$ também é solução da equação, e ainda que qualquer combinação linear destas duas soluções também é solução.
Na verdade, a solução geral desta equação é \[x(t)=\alpha e^{at}+\beta e^{-at}\]
Compare-se agora as equações \[ \ddot x=-\omega^2 x \] e \[ \ddot x=a^2 x \] Observe-se que estas equações são a mesma se tivermos em conta que $a=i\omega$ onde $i$ é a unidade imaginária, (portanto $i^2=-1$).
Se admitirmos a validade da segunda solução geral, para valores de $a$ imaginários puros , então temos que \[\label{eq1}\tag{1}\alpha e^{i\omega t}+\beta e^{-i\omega t}=\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi) \] para todo o $t\in \R$.
Derivando ambos os termos da igualdade temos \[\label{eq2}\tag{2}i\omega\left(\alpha e^{i\omega t}-\beta e^{-i\omega t}\right)=-\omega\mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi) \] Tomando $t=0$ nas equações ($\ref{eq1}$) e ($\ref{eq2}$), e obtemos \[ \left\{ {\begin{array}{c} {\alpha + \beta = \mathcal{A}\cos \phi } \\ {\alpha - \beta = i\mathcal{A}\sen \phi } \end{array}} \right. \] Que se resolve facilmente em ordem a $\alpha$ e $\beta$ , obtendo \[ \left\{ {\begin{array}{c} {\alpha = \displaystyle\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right)} \\ {\beta = \displaystyle\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right)} \end{array}} \right. \] Substituindo em (\ref{eq1}) obtemos \[\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right) e^{i\omega t}+\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right) e^{-i\omega t}=\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi) \] \[ \Leftrightarrow \] \[\label{eq3}\tag{3}\frac{\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right)}{2} e^{i\omega t}+\frac{\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right)}{2} e^{-i\omega t}= \cos (\omega t+ \phi) \] Nesta equação, podemos tomar $\phi=0$ e obtemos \[\label{eqCosseno}\tag{4}\frac{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }{2} = \cos(\omega t)\] Derivando cada membro da equação em ordem a $t$ temos \[i\omega\times\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = -\omega \sen(\omega t)\] que é equivalente a \[\label{eqSeno}\tag{5}\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = i\sen(\omega t)\] Somando termo a termo as equações (\ref{eqCosseno}) e (\ref{eqSeno}) obtemos \[ e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sen(\omega t)\] Finalmente, fazendo $\theta=\omega t$ obtemos
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sen\theta\]

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