Da equação dos osciladores harmónicos à exponencial complexa (Versão I)

No blog CarlosPaulices no século XXI mostrei como cheguei à exponencial complexa a partir de uma equação diferencial de primeira ordem.
Agora, que o (novo) programa de Matemática A 12º (ensino secundário, Portugal), inclui osciladores harmónicos, sugiro outra forma de o fazer.

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Actualização: Existe uma versão diferente desta dedução aqui, neste mesmo blog

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Sejam $A>0$, $\omega>0$ e $\varphi \in [0,2\pi[$. Um oscilador harmónico é um sistema constituído por um ponto que se desloca numa recta numérica em determinado intervalo de tempo $I$, de tal forma que a respectiva abcissa é dada por uma função da forma $$x(t)=A \cos (\omega t+ \varphi)$$ para cada $t\in I$
Derivando em ordem a $t$ (neste blog utilizarei $\dot x$ para designar a derivada de $x$ em ordem a $t$), temos $$\dot x=-A\omega \sen (\omega t + \varphi)$$ e consequentemente $$\ddot x=-A\omega^2 \cos (\omega t + \varphi)=-\omega^2 x$$ Portanto, $x(t)= A \cos (\omega t+ \varphi)$ é uma solução da equação diferencial $$\ddot x=-\omega^2 x$$ Na verdade, $x(t)= \mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)$ com $\mathcal{A}>0$ e $\phi \in [0,2\pi[$ arbitrários, é uma expressão geral para todas as soluções da equação $$\ddot x=-\omega^2 x$$

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Outras formas possíveis para a solução geral são:
$$x(t)= \mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi^*)$$ com $\mathcal{A}>0$ e $\phi^* \in [0,2\pi[$ ou $$x(t)= C_1\cos (\omega t)+ C_2\sen (\omega t)$$ com $C_1,C_2\in\R$
Note-se que $$\begin{eqnarray*} {C_1\cos (\omega t)+ C_2\sen (\omega t)}&{=}&{\sqrt{C_1^2+C_2^2}\left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\cos (\omega t)+ \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\sen (\omega t)\right)}\\ {}&{=}&{\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)}\\ {}&{=}&{\mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi^*)} \end{eqnarray*}$$ Fazendo $\mathcal{A}=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ e

$$\cos \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$$	;	$$\sen \phi=-\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$$
$$\sen \phi^*=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$$	;	$$\cos \phi^*=\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$$

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Considere-se agora a função $$x(t)=e^{at}$$ , com $a \in \R \backslash \{0\}$ Derivando em ordem a $t$ , temos $$\dot x=ae^{at}$$ e consequentemente $$\ddot x=a^2e^{at}$$ Portanto, $x(t)=e^{at}$ é uma solução da equação diferencial $$\ddot x=a^2 x$$ Facilmente se reconhece que $x(t)=e^{-at}$ também é solução da equação, e ainda que qualquer combinação linear destas duas soluções também é solução.
Na verdade, a solução geral desta equação é $$x(t)=\alpha e^{at}+\beta e^{-at}$$
Compare-se agora as equações $$\ddot x=-\omega^2 x$$ e $$\ddot x=a^2 x$$ Observe-se que estas equações são a mesma se tivermos em conta que $a=i\omega$ onde $i$ é a unidade imaginária, (portanto $i^2=-1$).
Se admitirmos a validade da segunda solução geral, para valores de $a$ imaginários puros , então temos que $$\label{eq1}\tag{1}\alpha e^{i\omega t}+\beta e^{-i\omega t}=\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)$$ para todo o $t\in \R$.
Derivando ambos os termos da igualdade temos $$\label{eq2}\tag{2}i\omega\left(\alpha e^{i\omega t}-\beta e^{-i\omega t}\right)=-\omega\mathcal{A} \sen (\omega t+ \phi)$$ Tomando $t=0$ nas equações ($\ref{eq1}$) e ($\ref{eq2}$), e obtemos $$\left\{ {\begin{array}{c} {\alpha + \beta = \mathcal{A}\cos \phi } \\ {\alpha - \beta = i\mathcal{A}\sen \phi } \end{array}} \right.$$ Que se resolve facilmente em ordem a $\alpha$ e $\beta$ (basta somar as equações, para determinar $\alpha$ e subtrair, para determinar $\beta$ ), obtendo $$\left\{ {\begin{array}{c} {\alpha = \displaystyle\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right)} \\ {\beta = \displaystyle\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right)} \end{array}} \right.$$ Substituindo em ($\ref{eq1}$) obtemos $$\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right) e^{i\omega t}+\frac{\mathcal{A}}{2}\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right) e^{-i\omega t}=\mathcal{A} \cos (\omega t+ \phi)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\label{eq3}\tag{3}\frac{\left( {\cos \phi + i\sen \phi } \right)}{2} e^{i\omega t}+\frac{\left( {\cos \phi - i\sen \phi } \right)}{2} e^{-i\omega t}= \cos (\omega t+ \phi)$$ Nesta equação, podemos tomar $\phi=0$ e obtemos $$\label{eqCosseno}\tag{4}\frac{ e^{i\omega t}+ e^{-i\omega t} }{2} = \cos(\omega t)$$ Derivando cada membro da equação em ordem a $t$ temos $$i\omega\times\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = -\omega \sen(\omega t)$$ que é equivalente a $$\label{eqSeno}\tag{5}\frac{ e^{i\omega t}- e^{-i\omega t} }{2} = i\sen(\omega t)$$ Somando termo a termo as equações ($\ref{eqCosseno}$) e ($\ref{eqSeno}$) obtemos $$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sen(\omega t)$$ Finalmente, fazendo $\theta=\omega t$ obtemos
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sen\theta$$