Um programa de calculadora para exercícios com o binómio de Newton.

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos - Heterónimo de Fernando Pessoa



As imagens que se seguem são capturas de uma das minhas fichas usadas em explicações.

É um dos "exercícios tipo" (odeio esta designação e também exercícios que encaixam nesta definição), associados ao binómio de Newton.
Há mais de 20 anos, um bocadinho farto de resolver coisas destas, decidi "atacar" o caso geral e implementá-lo numa calculadora.
Hoje, vou mostrar como o fiz.

O caso geral destes exercícios, aplicado a binómios da forma \[\left(ax^s+bx^t\right)^n\] é:

• Escrever (uma das possíveis formas d)o desenvolvimento do binómio
• Determinar o coeficiente de um $x^p$, ou o termo de grau $p$

O procedimento para resolução de coisas destas é 'mecânico'.
Assim sendo, é relativamente fácil resolver os casos gerais e implementar numa calculadora. \begin{eqnarray*} {\left( {ax^s + bx^t } \right)^n}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}\left( {ax^s } \right)^{n - p} } \left( {bx^t } \right)^p }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p} x^{s(n - p)} } b^p x^{tp} }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^{sn - sp+tp} } }\\ \end{eqnarray*}

• Para escrever o desenvolvimento, basta fazer $p$ percorrer o conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$.
• Para determinar o coeficiente de um $x^k$, começamos por resolver a equação $sn - sp+tp=k$.
  
  A solução é: \[p=\frac{sn-k}{s-t}\] Se este $p$ não for um número inteiro do conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$, ficamos a saber que esse coeficiente é zero. Caso contrário, o coeficiente é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p }$, (ou seja, o termo é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^k }$ ) . Este é um daqueles programas que já tenho há mais de 20 anos. Esteve implementado numa Casio Cfx 9950G, e TI83plus ... e também corre nas calculadoras actuais.
  

  ---

  Exemplo, vamos resolver o exercício 19 do início deste texto, recorrendo a uma implementação destas ideias: Determine os coeficientes de $x$ e $x^2$ no desenvolvimento de \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} \]
  Resolução \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} = \left( {x^{\frac{1}{2}} + x^{ - \frac{1}{3}} } \right)^{12} \] Coeficientes: $a=1$ e $b=1$
  Expoentes: $s=\displaystyle\frac{1}{2}$; $t=-\displaystyle\frac{1}{3}$ e $n=12$
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  O coeficiente de x^2 é... zero!
  Não me peçam o programa. (ainda tenho versões antigas, até ao ano 2001...)
  Eu já dei a ideia...
  Eventualmente um dia vai parar à secção "Material" deste blog.

Distância de um ponto a um plano (I).

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica: \[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\] \[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\] \[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

---

AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!

---

(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)

---

Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.