Este tipo de tecnicidades, no futuro será abordado no meu blog CarlosPaulices.
No meu blog cpmathexplicações está proposto um exercício que pede o cálculo do comprimento de uma cardióide a partir de uma parametrização.
O exercício acaba por conduzir ao cálculo do integral
∫2π0√1−costdt
Há várias formas de calcular este integral, por exemplo, recorrendo a substituições. Neste caso, uma das substituições indicadas será por exemplo a clássica substituição x=tg(t2). Um dos problemas de recorrer a esta substituição, e a muitas que acabam por recorrer a funções trigonométricas inversas, é que as pessoas têm a tendência a ignorar os contradomínios das funções trigonométricas inversas, e as suas implicações nos cálculos.
Neste caso, um tal descuido, pode conduzir, por exemplo, ao valor zero.
Zero, não pode ser, visto que este integral, quando multiplicado por 2√2 é o comprimento da curva a verde da figura abaixo no momento em que a circunferência completa uma rotação de 2π radianos.

O truque que recomendo para ultrapassar esta dificuldade menor é fazer ∫2π0√1−costdt=∫π0√1−costdt+∫2ππ√1−costdt Fazer a substituição t=2π−x no último integral conduzir-nos-á à igualdade ∫2π0√1−costdt=2∫π0√1−costdt E no integral da direita, a referida substituição pode ser feita sem problemas.
Mas já que aqui estamos, posso mostrar como é que eu calcularia este integral sem recorrer a essa substituição: 2∫π0√1−costdt=2∫π0√(1−cost)(1+cost)1+costdt=2∫π0sent√1+costdt Note-se que embora a primitiva da função integranda seja imediata, a função não está definida em t=π. =limr→π−−4√1+cost|r0=−4(√0−√2)=4√2 Assim sendo, o comprimento da cardióide da animação é 2√2×4√2=16 E se ambas as circunferências tiverem raio R, o comprimento será s=16R.
O integral em si, não tem nada de especial, e existe muito software que o calcula. Por exemplo, o Wolfram Alpha ou as calculadoras Casio fx-9860GII,

E mesmo as Casio CG10 e CG20:
Mas, curiosamente, a minha Casio Algebra Fx 2.0plus, no menu CAS não calcula isto!
(Irónico que a máquina com computação algébrica não faça isto)
Embora hoje em dia haja software para estas operações, o tipo de ginástica mental e raciocínio que está por detrás destes cálculos faz com que seja sempre boa ideia perder algum tempo com eles, pelo menos quando se introduz o cálculo integral.
Portanto, nestas situações... deixem as calculadoras fora das avaliações!