Cuidado com as substituições...

Embora neste blog, não esteja nos meus planos perder muito tempo com tecnicidades de cálculo, hoje abro uma excepção.
Este tipo de tecnicidades, no futuro será abordado no meu blog CarlosPaulices.

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No meu blog cpmathexplicações está proposto um exercício que pede o cálculo do comprimento de uma cardióide a partir de uma parametrização.
O exercício acaba por conduzir ao cálculo do integral
\[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} \]
Há várias formas de calcular este integral, por exemplo, recorrendo a substituições. Neste caso, uma das substituições indicadas será por exemplo a clássica substituição $x=\tg \left(\frac{t}{2}\right)$. Um dos problemas de recorrer a esta substituição, e a muitas que acabam por recorrer a funções trigonométricas inversas, é que as pessoas têm a tendência a ignorar os contradomínios das funções trigonométricas inversas, e as suas implicações nos cálculos.
Neste caso, um tal descuido, pode conduzir, por exemplo, ao valor zero.
Zero, não pode ser, visto que este integral, quando multiplicado por $2\sqrt{2}$ é o comprimento da curva a verde da figura abaixo no momento em que a circunferência completa uma rotação de $2\pi$ radianos.
A verdade, é que só quando $t\in ]-\pi,\pi[$ é que $x=\tg \left(\frac{t}{2}\right)$ é equivalente a $t=2\arctg x$, e neste integral temos o problema de o intervalo de integração ser $[0,2\pi]$
O truque que recomendo para ultrapassar esta dificuldade menor é fazer \[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} = \int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt} + \int_\pi ^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} \] Fazer a substituição $t=2\pi-x$ no último integral conduzir-nos-á à igualdade \[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} = 2\int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt} \] E no integral da direita, a referida substituição pode ser feita sem problemas.
Mas já que aqui estamos, posso mostrar como é que eu calcularia este integral sem recorrer a essa substituição: \[ 2\int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt}= 2\int_0^\pi {\sqrt {\frac{(1 - \cos t)(1+\cos t)}{1+\cos t}} dt}= 2\int_0^\pi{\frac{\sen t}{\sqrt{1+\cos t}} dt} \] Note-se que embora a primitiva da função integranda seja imediata, a função não está definida em $t=\pi$. \[ = \lim_{r\to\pi^-}- \left. {4\sqrt {1 + \cos t} } \right|_0^r =-4(\sqrt 0 - \sqrt 2)=4\sqrt{2} \] Assim sendo, o comprimento da cardióide da animação é \[2\sqrt{2}\times4\sqrt{2}=16\] E se ambas as circunferências tiverem raio $R$, o comprimento será $s=16R$.

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O integral em si, não tem nada de especial, e existe muito software que o calcula. Por exemplo, o Wolfram Alpha ou as calculadoras Casio fx-9860GII,

E mesmo as Casio CG10 e CG20:

Mas, curiosamente, a minha Casio Algebra Fx 2.0plus, no menu CAS não calcula isto!
(Irónico que a máquina com computação algébrica não faça isto)

Embora hoje em dia haja software para estas operações, o tipo de ginástica mental e raciocínio que está por detrás destes cálculos faz com que seja sempre boa ideia perder algum tempo com eles, pelo menos quando se introduz o cálculo integral.
Portanto, nestas situações... deixem as calculadoras fora das avaliações!