
Ciclóide é a curva definida por um ponto de uma circunferência que roda sem deslizar sobre uma recta.
Uma parametrização

- O, origem do referencial.
- C, centro da circunferência. Inicialmente, antes da rotação, estava em (0,R)
- P, ponto da circunferência após uma rotação de ângulo t radianos.
- T, ponto de tangência entre a circunferência e o eixo Ox.
- P′, projecção ortogonal de P sobre o segmento [CT]
Pela figura temos ¯OT=Rt¯PP′=Rsent¯CP′=Rcost Logo P tem coordenadas (¯OT−¯PP′,R−¯CP′)
Ou seja, P=(Rt−Rsent,R−Rcost) Assim, uma parametrização da ciclóide gerada por uma rotação completa será γ(t)=(Rt−Rsent,R−Rcost), com t∈[0,2π] Duas aplicações directas desta parametrização são o cálculo do comprimento da curva e o cálculo da área entre a curva e o eixo Ox.
O comprimento da curva
s=2π∫0‖γ′(t)‖dt=8RA área sob a curva
A=∬R1dxdy=∮Cydx=3πR2Aqui, C é a curva fechada composta pela ciclóide e o segmento de recta que une o extremo da direita à origem, e a justificação para a passagem no segundo sinal de igual é o teorema de Green, tendo em conta que, com esta parametrização estamos a percorrer a curva no sentido horário (ou seja, sentido negativo).
Desenhar a animação do desenho da curva em calculadoras Casio CG10 ou CG20
A animação do princípio deste post foi gerada recorrendo ao Geogebra.No entanto, numa sala com alunos pode ser mais conveniente gerar esta animação numa calculadora.
Para desenhar na calculadora, vamos considerar o caso em que R=1
- No menu principal seleccione o icone de gráficos dinâmicos
- Seleccione gráficos paramétricos e introduza as seguintes funções.
A função a azul desenha a circunferência de centro (A,1) e raio 1
A função a verde desenha a ciclóide
A função a vermelho desenha o ponto vermelho na animação abaixo
- Sugiro que se usem os seguintes valores para a janela de visualização
- Saindo das definições de janela, pomos A a variar entre 0 e 4π
- No menu speed seleccione a velocidade desejada e mande desenhar.
E voilá, cá temos a animação final.
Para ajustar a velocidade pode ainda tentar ajustar o "step" do segundo ecrã do passo 4.
Para ajustar a velocidade pode ainda tentar ajustar o "step" do segundo ecrã do passo 4.

Por hoje é tudo. Até uma próxima oportunidade.
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