Embora neste blog, não esteja nos meus planos perder muito tempo com tecnicidades de cálculo, hoje abro uma excepção.
Este tipo de tecnicidades, no futuro será abordado no meu blog CarlosPaulices.

No meu blog cpmathexplicações está proposto um exercício que pede o cálculo do comprimento de uma cardióide a partir de uma parametrização.
O exercício acaba por conduzir ao cálculo do integral
\[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} \]
Há várias formas de calcular este integral, por exemplo, recorrendo a substituições. Neste caso, uma das substituições indicadas será por exemplo a clássica substituição $x=\tg \left(\frac{t}{2}\right)$. Um dos problemas de recorrer a esta substituição, e a muitas que acabam por recorrer a funções trigonométricas inversas, é que as pessoas têm a tendência a ignorar os contradomínios das funções trigonométricas inversas, e as suas implicações nos cálculos.
Neste caso, um tal descuido, pode conduzir, por exemplo, ao valor zero.
Zero, não pode ser, visto que este integral, quando multiplicado por $2\sqrt{2}$ é o comprimento da curva a verde da figura abaixo no momento em que a circunferência completa uma rotação de $2\pi$ radianos.

A verdade, é que só quando $t\in ]-\pi,\pi[$ é que $x=\tg \left(\frac{t}{2}\right)$ é equivalente a $t=2\arctg x$, e neste integral temos o problema de o intervalo de integração ser $[0,2\pi]$
O truque que recomendo para ultrapassar esta dificuldade menor é fazer \[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} = \int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt} + \int_\pi ^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} \] Fazer a substituição $t=2\pi-x$ no último integral conduzir-nos-á à igualdade \[ \int_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos t} dt} = 2\int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt} \] E no integral da direita, a referida substituição pode ser feita sem problemas.
Mas já que aqui estamos, posso mostrar como é que eu calcularia este integral sem recorrer a essa substituição: \[ 2\int_0^\pi {\sqrt {1 - \cos t} dt}= 2\int_0^\pi {\sqrt {\frac{(1 - \cos t)(1+\cos t)}{1+\cos t}} dt}= 2\int_0^\pi{\frac{\sen t}{\sqrt{1+\cos t}} dt} \] Note-se que embora a primitiva da função integranda seja imediata, a função não está definida em $t=\pi$. \[ = \lim_{r\to\pi^-}- \left. {4\sqrt {1 + \cos t} } \right|_0^r =-4(\sqrt 0 - \sqrt 2)=4\sqrt{2} \] Assim sendo, o comprimento da cardióide da animação é \[2\sqrt{2}\times4\sqrt{2}=16\] E se ambas as circunferências tiverem raio $R$, o comprimento será $s=16R$.

O integral em si, não tem nada de especial, e existe muito software que o calcula. Por exemplo, o Wolfram Alpha ou as calculadoras Casio fx-9860GII,

E mesmo as Casio CG10 e CG20:

Mas, curiosamente, a minha Casio Algebra Fx 2.0plus, no menu CAS não calcula isto!
(Irónico que a máquina com computação algébrica não faça isto)

Embora hoje em dia haja software para estas operações, o tipo de ginástica mental e raciocínio que está por detrás destes cálculos faz com que seja sempre boa ideia perder algum tempo com eles, pelo menos quando se introduz o cálculo integral.
Portanto, nestas situações... deixem as calculadoras fora das avaliações!

Consideremos a curva a verde da animação. A curva é descrita por um ponto $P$ numa circunferência que se desloca, rodando com velocidade uniforme, ao longo do eixo dos $xx$. Esta curva é uma ciclóide.
Ciclóide é a curva definida por um ponto de uma circunferência que roda sem deslizar sobre uma recta.

Uma parametrização

Na figura estão representados, num referencial $o.n$. uma circunferência de centro $C$ e raio $R$,que rodou por um ângulo $t$ sobre o eixo $Ox$

$O$, origem do referencial.
$C$, centro da circunferência. Inicialmente, antes da rotação, estava em $(0,R)$
$P$, ponto da circunferência após uma rotação de ângulo $t$ radianos.
$T$, ponto de tangência entre a circunferência e o eixo $Ox$.
$P'$, projecção ortogonal de $P$ sobre o segmento $[CT]$

Vamos procurar obter as coordenadas de $P$.
Pela figura temos \begin{eqnarray*} {\overline{OT}}&{=}&{Rt}\\ {\overline{PP'}}&{=}&{R\sen t}\\ {\overline{CP'}}&{=}&{R\cos t} \end{eqnarray*} Logo $P$ tem coordenadas $\left(\overline{OT}-\overline{PP'},R-\overline{CP'}\right)$
Ou seja, \[P=\left(Rt-R\sen t,R-R\cos t\right)\] Assim, uma parametrização da ciclóide gerada por uma rotação completa será \[\gamma(t)=\left(Rt-R\sen t,R-R\cos t\right),\text{ com }t \in [0,2\pi]\] Duas aplicações directas desta parametrização são o cálculo do comprimento da curva e o cálculo da área entre a curva e o eixo $Ox$.

O comprimento da curva

\[s=\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = {8R}\]

A área sob a curva

\[ A = \iint\limits_R {1dxdy = \oint\limits_C {ydx = 3\pi R^2 } } \]
Aqui, $C$ é a curva fechada composta pela ciclóide e o segmento de recta que une o extremo da direita à origem, e a justificação para a passagem no segundo sinal de igual é o teorema de Green, tendo em conta que, com esta parametrização estamos a percorrer a curva no sentido horário (ou seja, sentido negativo).

Desenhar a animação do desenho da curva em calculadoras Casio CG10 ou CG20

A animação do princípio deste post foi gerada recorrendo ao Geogebra.
No entanto, numa sala com alunos pode ser mais conveniente gerar esta animação numa calculadora.
Para desenhar na calculadora, vamos considerar o caso em que $R=1$

No menu principal seleccione o icone de gráficos dinâmicos
Seleccione gráficos paramétricos e introduza as seguintes funções.
A função a azul desenha a circunferência de centro $(A,1)$ e raio $1$
A função a verde desenha a ciclóide
A função a vermelho desenha o ponto vermelho na animação abaixo
Sugiro que se usem os seguintes valores para a janela de visualização
Saindo das definições de janela, pomos $A$ a variar entre $0$ e $4\pi$
No menu speed seleccione a velocidade desejada e mande desenhar.