Uma recta giratória (superfície regrada)

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Problema: Identificar o conjunto de todos os pontos que se obtêm rodando a recta $z=mx+b$ com $m\neq 0$ contida no plano $y=R$ em torno do eixo $Oz$, para ângulos $\theta \in \left[0;2\pi\right[$.

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Possível resolução:
As rotações de ângulo $\theta$ em torno do eixo $Oz$ são dadas pela função $$R_{(z,\theta)}(x,y,z)=\left(x\cos \theta - y\sen \theta,x\sen \theta +y\cos \theta,z\right)$$ (A dedução desta fórmula é simples, vou deixá-la ao cargo do leitor...)
Um ponto genérico da recta é $$(x,R,mx+b)$$ Portanto após uma rotação, este ponto é transformado em $$\left(X,Y,Z\right)=R_{(z,\theta)}(x,R,mx+b)=\left(x\cos \theta - R\sen \theta,x\sen \theta +R\cos \theta,mx+b\right)$$ Ou seja $$\left\{ {\begin{array}{l} {X = x\cos \theta - R\sen \theta } \\ {Y = x\sen \theta + R\cos \theta } \\ {Z = mx + b} \\ \end{array}} \right.$$ Como $$\begin{eqnarray*} {X^2+Y^2}&{=}&{x^2\cos^2 \theta -2 x R \cos \theta \sen \theta + R^2 \senq \theta + x^2\senq\theta +2 x R \sen\theta \cos \theta +R^2 \cos^2 \theta }\\ {}&{=}&{x^2+R^2}\\ {}&{=}&{\left(\frac{Z-b}{m}\right)^2+R^2} \end{eqnarray*}$$ Ou seja $$X^2+Y^2-\left(\frac{Z-b}{m}\right)^2=R^2$$ Esta equação é a equação de um hiperbolóide de uma folha, se $R\neq 0$ e de um cone (infinito) se $R=0$
Abaixo partilho, uma applet Geogebra onde pode manipular os parâmetros da recta original e do hiperbolóide ou cone correspondente.
E abaixo ainda uma animação ver o hiperbolóide "a ser construído" pela recta.(clicando sobre a animação vai ter a uma outra applet geogebra)