08/08/2021

Soma dos primeiros n quadrados

A primeira vez que vi a fórmula 12+22++n2=n(n+1)(2n+1)6 foi num exercício de indução matemática.
Com o passar dos anos foram-me aparecendo outras deduções para a fórmula.
Uma óbvia é converter o problema numa equação de diferenças e resolver, e foi um dos primeiros exemplos que testei assim qua aprendi equações de diferenças-
(Encontram uma versão dessa ideia no youtube, aqui: https://www.youtube.com/watch?v=OpA7oNmHobM)
Outra dedução de que gosto muito é visual: https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ
Mas há muitas outras.
Por exemplo, recentemente encontrei esta https://www.youtube.com/watch?v=gVMEtOXdhs8.

Hoje apresento uma que me ocorreu durante uma explicação online de Probabilidades e Estatística.
Não é propriamente elegante, visto que vou "recorrer a um exército para matar uma mosca" (eu sei que a expressão é 'recorrer a um canhão para matar uma mosca' , mas aqui pode-se dizer que vou recorrer a vários canhões).
Vou recordar algumas definições:

Seja X uma variável aleatória discreta e P uma medida de probabilidade X={xiiIpi=P(X=xi)
O valor esperado (ou valor médio, ou esperança matemática, ou momento de primeira ordem) de X é E(X)=iIxipi
desde que se tenha E(X)=iI|xi|pi<



Seja X uma variável aleatória discreta e P uma medida de probabilidade X={xiiIpi=P(X=xi)
O Momento de ordem n da variável aleatória X é E(Xn)=iIxnipi
desde que, uma vez mais, se tenha E(X)=iI|xi|npi<



Seja X uma variável aleatória discreta. A função geradora de momentos da variável aleatória X é MX(t)=E(etX)


Depois destas definições, recordo também um resultado

Seja X uma variável aleatória. dndtnMX(t)|t=0=E(Xn)


Vamos a isto. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme discreta de parâmetro n com nN1, ou seja, XUniforme(n)
P(X=i)={1n,i{1,,n}0, caso contrário
Então:

MX(t)=E(etX)=1nni=1eti={etn1ent1et,se t01,se t=0
para tR

A partir deste resultado provam-se os seguintes

ddt[MX(t)]={et(n+1)e(n+1)t+ne(n+2)tn(1et)2,se t0n+12,se t=0
d2dt2[MX(t)]={e2t+et(n+1)2e(n+1)t+(2n2+2n1)e(n+2)tn2e(n+3)tn(1et)3,se t0(n+1)(2n+1)6,se t=0


Consequentemente

E(X)=n+12
E(X2)=(n+1)(2n+1)6


Atentendo à definição de momento de ordem 2 temos que: E(X2)=ni=1(i21n)=1nni=1i2
Então, pelo último teorema: 1nni=1i2=(n+1)(2n+1)6
E imediatamente, sai ni=1i2=n(n+1)(2n+1)6

Sem comentários:

Enviar um comentário