Com o passar dos anos foram-me aparecendo outras deduções para a fórmula.
Uma óbvia é converter o problema numa equação de diferenças e resolver, e foi um dos primeiros exemplos que testei assim qua aprendi equações de diferenças-
(Encontram uma versão dessa ideia no youtube, aqui: https://www.youtube.com/watch?v=OpA7oNmHobM)
Outra dedução de que gosto muito é visual: https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ
Mas há muitas outras.
Por exemplo, recentemente encontrei esta https://www.youtube.com/watch?v=gVMEtOXdhs8.
Hoje apresento uma que me ocorreu durante uma explicação online de Probabilidades e Estatística.
Não é propriamente elegante, visto que vou "recorrer a um exército para matar uma mosca" (eu sei que a expressão é 'recorrer a um canhão para matar uma mosca' , mas aqui pode-se dizer que vou recorrer a vários canhões).
Vou recordar algumas definições:
Seja X uma variável aleatória discreta e P uma medida de probabilidade X={xii∈Ipi=P(X=xi)
O valor esperado (ou valor médio, ou esperança matemática, ou momento de primeira ordem) de X é
E(X)=∑i∈Ixipi
desde que se tenha
E(X)=∑i∈I|xi|pi<∞
Seja X uma variável aleatória discreta e P uma medida de probabilidade X={xii∈Ipi=P(X=xi)
O Momento de ordem n da variável aleatória X é
E(Xn)=∑i∈Ixnipi
desde que, uma vez mais, se tenha
E(X)=∑i∈I|xi|npi<∞
Seja X uma variável aleatória discreta. A função geradora de momentos da variável aleatória X é MX(t)=E(etX)
Depois destas definições, recordo também um resultado
Seja X uma variável aleatória. dndtnMX(t)|t=0=E(Xn)
Vamos a isto. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme discreta de parâmetro n com n∈N1, ou seja, X∼Uniforme(n)
P(X=i)={1n,i∈{1,⋯,n}0, caso contrário
Então:
MX(t)=E(etX)=1nn∑i=1eti={etn1−ent1−et,se t≠01,se t=0
para t∈R
A partir deste resultado provam-se os seguintes
ddt[MX(t)]={et−(n+1)e(n+1)t+ne(n+2)tn(1−et)2,se t≠0n+12,se t=0
d2dt2[MX(t)]={e2t+et−(n+1)2e(n+1)t+(2n2+2n−1)e(n+2)t−n2e(n+3)tn(1−et)3,se t≠0(n+1)(2n+1)6,se t=0
Consequentemente
E(X)=n+12
E(X2)=(n+1)(2n+1)6
Atentendo à definição de momento de ordem 2 temos que: E(X2)=n∑i=1(i2⋅1n)=1nn∑i=1i2
Então, pelo último teorema:
1nn∑i=1i2=(n+1)(2n+1)6
E imediatamente, sai
n∑i=1i2=n(n+1)(2n+1)6
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