Das séries de Fourier a uma fórmula recursiva para a Função zeta de números pares (positivos).

“The only way to learn mathematics is to do mathematics.” - Paul Halmos

Hoje, vou começar por rever ou mesmo introduzir, três conceitos: Arranjos, séries de Fourier e função zeta de Euler (A famosa zeta de Riemann é uma extensão desta função ao conjunto dos complexos). E com eles vou calcular a zeta de $2,4,6,8,...,2n,...$ de números pares positivos.

Sejam $n,p\in\N_1$ com $p\leq n$. Dado um conjunto de cardinal $n$, arranjos de $n$ elementos $p$ a $p$ (ou só "arranjos de $n$ $p$ a $p$") é o número de sequências de $p$ elementos distintos que é possível formar com elementos desse conjunto. Esse número representa-se por $$\nPr{n}{p}$$ Tem-se que $$\nPr{n}{p} =n \times \left(n-1\right)\times\cdots\times \left(n-p+1\right)$$ ou equivalentemente $$\nPr{n}{p} =\frc{n!}{\left(n-p+1\right)!}$$

Note-se que o número $p$ é o número de factores do produto. Por exemplo $\nPr{2021}{3}$ é um produto com três factores: $$\nPr{2021}{3}=2021\times2020\times2019$$ (É por isso que esta definição está aqui! Esta observação vai ser útil no cálculo de um integral.)

A função zeta de Euler é a função de domínio $]1,+\infty[$ definida por $$\zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^s }}} \text{ }\forall s\in]1,+\infty[$$ Note-se que como a função é definida em cada ponto por uma série de Dirichlet, a função está bem definida (também há quem lhes chame séries-p, mas acho esse nome péssimo, e portanto nos meus textos, essa designação está banida).

Uma série de Dirichlet é uma série da forma $\sum\limits_{n = n_0}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^\alpha }}}$, para $n_0\in\N_1$, e converge se e só se $\alpha>1$ )

No texto de hoje, vou limitar-me à humilde tarefa de calcular o valor exacto de $\zeta (2k)$ para $k$ natural, no domínio da função. (Tenciono voltar a usar esta função em textos futuros, recorrendo a outras ferramentas, mas por hoje, isto é suficiente)

Seja $f:\R\to\R$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período $2L$. Então a função possui uma representação em série de Fourier:
$$\tilde{f}(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{a_n \cos \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right) + b_n \sen \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right)}\right]}$$ em que $$\tilde{f}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {f\left( x \right)}&{ \text{se a função }f\text{ for contínua em }x} \\ {}&{} \\ {\frc{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to x^ - } f\left( t \right) + \mathop {\lim }\limits_{t \to x^ + } f\left( t \right)} \right)} &{ \text{se a função }f\text{ tiver uma descontinuidade em }x} \\ \end{array}} \right.$$ Os coeficientes $a_n$ e $b_n$ calculam-se pelas fórmulas de Euler: $$a_0 = \frc{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx}$$ $$a_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx}$$ $$b_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sen \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx}$$

A primeira parte deste texto costuma (ou costumava) ser um exercício comum em cadeiras onde se introduzem séries de Fourier.
Eu vou saltar algumas deduções, mas o leitor mais curioso pode consultar qualquer livro que introduza o assunto.
Exercício:

Considere-se a função $f$ de domínio $\R$, tal que $f(x)=x^2$ em $]-\pi,\pi]$, e $f$ é periódica de período $2\pi$.
Obtenha o desenvolvimento de $f$ em série de Fourier.


Uma possível resolução:

Se aplicarmos as fórmulas de Euler acima obtemos:
$$a_0=\frc{\pi^2}{3}$$ $$a_n=\frc{4}{n^2}(-1)^n$$ $$b_n=0 \text{ a função integranda é ímpar, e está a ser integrada num intervalo do tipo }[-L,L]$$ E estes resultados permitem-nos escrever $$f(x) = \frc{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\frc{{( - 1)^n }}{{n^2 }}\cos \left( {nx} \right)}\right]}$$

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E pronto. O exercício está resolvido.:
Mas, sabemos que $f(\pi)=\pi^2$, logo, substituindo na fórmula obtida temos $$\pi ^2 = \frac{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^2 }}}$$ $$\Leftrightarrow \frc{{2\pi ^2 }}{3} = 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}}$$ $$\Leftrightarrow \frc{{\pi ^2 }}{6} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}}$$ Se recordarmos a definição da função zeta (de Euler), acabei de mostrar que $$\zeta\left(2\right)= \frc{{\pi ^2 }}{6}$$

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Recorrendo a séries de Fourier, é possível calcular os valores exactos das somas de muitas outras séries, incluindo valores da função zeta.
Vamos a mais um exemplo. Considere-se agora a função $g$ de domínio $\R$, tal que $g(x)=x^{4}$ em $]-\pi,\pi]$, e $g$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: $$a_0=\frc{\pi^4}{5}$$ $$a_n=8\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n$$ $$b_n=0$$ então $$g(x) = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\cos \left( {nx} \right)}\right]}$$ Como no exercício anterior, se fizermos $x=\pi$ temos $$\pi^4 = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)}\right]}$$ $$\Leftrightarrow \frac{{4\pi ^4 }}{5} = 8\left( {\pi ^2 \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} - 6\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^4 }}} } \right)$$ Resolvendo em ordem a $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}}$ temos $$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}}$$ ou seja, $$\zeta(4) = \frac{{\pi ^4 }}{{90}}$$ Depois destes dois exemplos, consideremos um caso mais geral: Seja $k\in\N$, e considere-se a função $h$ de domínio $\R$, tal que $h(x)=x^{2k}$ em $]-\pi,\pi]$, e $h$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: $$a_0 = \frc{\pi ^{2k}}{2k + 1}$$ $$b_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \sen \left( {nx} \right)dx}=0 \text { pois a função integranda é ímpar.}$$ Quanto a uma expressão para $(a_n)$, a tarefa não é simples. Mas eu fiz as contas e tenho aqui uma expressão. $$a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx = 2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frc{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot\nPr{2k}{2j-1} } \right]}$$ Se tiver curiosidade sobre o cálculo de $a_n$, utilize o botão que se segue.

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A fórmula de primitivação por partes diz-nos que $$\int {x^m \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \frc{{\sen \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m - \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \sen \left( {\alpha x} \right)} dx$$ $$\int {x^m \sen \left( {\alpha x} \right)} dx = - \frc{{\cos \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m + \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx$$ As primitivas $$\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx$$ calculam-se alternando estas duas fórmulas. Para $k=1$ temos $$\int {x^2 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^2 }}{\alpha } - \frc{2}{{\alpha ^3 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \frc{{2x}}{{\alpha ^2 }}\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R$$ Para $k=2$ temos $$\int {x^4 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^4 }}{\alpha } - \frc{{4 \times 3x^2 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^5 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \left( {\frc{{4x^3 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{4 \times 3 \times 2 x}}{{\alpha ^4 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R$$ Para $k=3$ temos $$\int {x^6 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^6 }}{\alpha } - \frc{{6 \times 5x^4 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3x^2}}{{\alpha ^5 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^7 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) \\ + \left( {\frc{{6x^5 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4x^3 }}{{\alpha ^4 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2x}}{{\alpha ^6 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R$$ (Estas contas devem ser feitas à mão, sem recorrer a software de computação algébrica, ou perderão os detalhes que estão nas fórmulas que apresentei - Eu fiz as contas, tenho-as aqui comigo, só não partilho os passos todos, porque quero deixar parte da diversão para o leitor, e porque não me apetece passar umas horas a escrever $\LaTeX$ :) ) $$\cdots$$ Começa a vislumbrar-se o padrão $$\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^j \nPr{2k}{2j}x^{2k - 2j} }}{{\alpha ^{2j + 1} }}} } \right)\sin \left( {\alpha x} \right) + \left( {\sum\limits_{j = 1}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \nPr{2k}{2j-1}x^{2k - 2j + 1} }}{{\alpha ^{2j} }}} } \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C; C\in\R$$ Depois, só para garantir a validade das fórmulas, devem provar-se por indução em $k$.
Agora basta recorrer a esta fórmula para calcular o integral $$a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx$$ e o resultado é imediato.

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Assim sendo, temos que $$h\left( x \right) = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} \left( { - 1} \right)^n \cos \left( {nx} \right)} \right]}$$ Como $h(\pi)=\pi^{2k}$ temos então que $$\pi^{2k} = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]}$$ $$\Leftrightarrow \frac{{2k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]}$$ $$\Leftrightarrow \frac{{k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } { {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} }$$ $$\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1}\cdot \nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^{2j} }}} } \right]}$$ $$\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]}$$ $$\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^{k-1} {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]} + {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + 1}\cdot \nPr{2k}{2k-1}}}{{\pi ^{2k} }}\zeta\left(2k\right)} \right]}$$ $$\Leftrightarrow \zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)}$$

$\blacksquare$

Seja $k\in\N_1$. Então, $$\zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)}$$

Exemplos:
$k=1$ $$\zeta \left( 2 \right) = \frac{{\pi ^2 }}{{3!}} + \sum\limits_{j = 1}^0 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2 - 2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{\pi ^2 }}{6} + 0 = \frac{{\pi ^2 }}{6}$$ $k=2$ $$\zeta \left( 4 \right) = \frac{{2\pi ^4 \left( { - 1} \right)}}{{5!}} + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 2 \right) = \frac{{ - \pi ^4 }}{{60}} + \frac{{\pi ^4 }}{{36}} = \frac{{ - 3\pi ^4 + 5\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{2\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}}$$ $k=3$ $$\zeta \left( 6 \right) = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{3 + j + 1} \pi ^{6 - 2j} }}{{\left( {6 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 2 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 4 \right) = \frac{{\pi ^6 }}{{945}}$$ $k=4$ $$\zeta \left( 8 \right) = \frac{{4\pi ^8 \left( { - 1} \right)}}{{9!}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{4 + j + 1} \pi ^{8 - 2j} }}{{\left( {8 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = - \frac{{4\pi ^8 }}{{9!}} + \frac{{\pi ^6 }}{{7!}}\zeta \left( 2 \right) - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 4 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 6 \right) = \frac{{\pi ^8 }}{{9450}}$$ Os cálculos sugerem que há uma forma "mais bonita" para a fórmula... Será que existe mesmo? (nada de spoilers, a função zeta está convidada a voltar a este blog)
A fórmula é implementável em calculadoras com computação algébrica.
Abaixo partilho dois screenshots da minha TI-nspire CX CAS (Capturados com TILP2 para linux)
Se houver curiosidade, pressionando o botão abaixo, mostro os valores da função zeta para os pares de 2 a 100, obtidos com esta fórmula, em milissegundos, numa cópia do Mathematica 12 (para uso não comercial) num Raspberry Pi 4.
Por hoje é tudo. Até à próxima!

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$$\begin{eqnarray*} {\zeta(2)}&{=}&{\frc{\pi^{2}}{6}}\\ {\zeta(4)}&{=}&{\frc{\pi^{4}}{90}}\\ {\zeta(6)}&{=}&{\frc{\pi^{6}}{945}}\\ {\zeta(8)}&{=}&{\frc{\pi^{8}}{9450}}\\ {\zeta(10)}&{=}&{\frc{\pi^{10}}{93555}}\\ {\zeta(12)}&{=}&{\frc{691 \pi^{12}}{638512875}}\\ {\zeta(14)}&{=}&{\frc{2 \pi^{14}}{18243225}}\\ {\zeta(16)}&{=}&{\frc{3617 \pi^{16}}{325641566250}}\\ {\zeta(18)}&{=}&{\frc{43867 \pi^{18}}{38979295480125}}\\ {\zeta(20)}&{=}&{\frc{174611 \pi^{20}}{1531329465290625}}\\ {\zeta(22)}&{=}&{\frc{155366 \pi^{22}}{13447856940643125}}\\ {\zeta(24)}&{=}&{\frc{236364091 \pi^{24}}{201919571963756521875}}\\ {\zeta(26)}&{=}&{\frc{1315862 \pi^{26}}{11094481976030578125}}\\ {\zeta(28)}&{=}&{\frc{6785560294 \pi^{28}}{564653660170076273671875}}\\ {\zeta(30)}&{=}&{\frc{6892673020804 \pi^{30}}{5660878804669082674070015625}}\\ {\zeta(32)}&{=}&{\frc{7709321041217 \pi^{32}}{62490220571022341207266406250}}\\ {\zeta(34)}&{=}&{\frc{151628697551 \pi^{34}}{12130454581433748587292890625}}\\ {\zeta(36)}&{=}&{\frc{26315271553053477373 \pi^{36}}{20777977561866588586487628662044921875}}\\ {\zeta(38)}&{=}&{\frc{308420411983322 \pi^{38}}{2403467618492375776343276883984375}}\\ {\zeta(40)}&{=}&{\frc{261082718496449122051 \pi^{40}}{20080431172289638826798401128390556640625}}\\ {\zeta(42)}&{=}&{\frc{3040195287836141605382 \pi^{42}}{2307789189818960127712594427864667427734375}}\\ {\zeta(44)}&{=}&{\frc{5060594468963822588186 \pi^{44}}{37913679547025773526706908457776679169921875}}\\ {\zeta(46)}&{=}&{\frc{103730628103289071874428 \pi^{46}}{7670102214448301053033358480610212529462890625}}\\ {\zeta(48)}&{=}&{\frc{5609403368997817686249127547 \pi^{48}}{4093648603384274996519698921478879580162286669921875}}\\ {\zeta(50)}&{=}&{\frc{39604576419286371856998202 \pi^{50}}{285258771457546764463363635252374414183254365234375}}\\ {\zeta(52)}&{=}&{\frc{123256264328536916515065383362 \pi^{52}}{8761982491474419367550817114626909562924278968505859375}}\\ {\zeta(54)}&{=}&{\frc{116599854539539449685672495250764 \pi^{54}}{81807125729900063867074959072425603825198823017351806640625}}\\ {\zeta(56)}&{=}&{\frc{708397979803779072481547354189494 \pi^{56}}{4905352087939496310826487207538302184255342959123162841796875}}\\ {\zeta(58)}&{=}&{\frc{11652912186052419567178865654349796 \pi^{58}}{796392368980577121745974726570063253238310542073919837646484375}}\\ {\zeta(60)}&{=}&{\frc{4860932561935022288161219976319280984165964 \pi^{60}}{3278777586273629598615520165380455583231003564645636125000418914794921875}}\\ {\zeta(62)}&{=}&{\frc{3174344628151447365665300608362164168 \pi^{62}}{21132271510899613925529439369536628424678570233931462891949462890625}}\\ {\zeta(64)}&{=}&{\frc{106783830147866529886385444979142647942017 \pi^{64}}{7016125464333780819415029165079856003277532103367584994756141174316406250}}\\ {\zeta(66)}&{=}&{\frc{133872729284212332186510857141084758385627191 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Bibliografia sugerida
(Séries de Fourier)

• Kreyszig, Erwin, "Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition",wiley
• Braun,M, "Diferential Equations and their applications, fourth edition",Springer
• Agudo, F.R.Dias, "Análise Real, Volume 2",Escolar editora
• Barreira, Luis, "Análise complexa e equações diferenciais, 4ª edição",IST Press
• Girão, Pedro Martins, "Introdução à Análise complexa, séries de Fourier e equações diferenciais",IST Press

(apenas para consulta, se houver curiosidade, eu não usei nenhum deles...)

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