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14/02/2022

Uma dica no cálculo de derivadas de ordem n

Uma das causas da minha irregularidade a publicar neste blog, é que desde uns meses depois do ínicio da pandemia COVID-19 dou explicações online a uma média de 12 cadeiras por semestre sem falar das explicações ao ensino secundário
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem n, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.

Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem n, "não simplifique as contas".


Passo a explicar: se k for uma constante e f uma função, então a derivada de kf é k vezes a derivada de f
Então, a derivada de, por exemplo 5×f×10 também é 5×f×10.



Até perceberem o padrão, deixem o 5 e o 10 onde estão. Não convertam para 50f

Exemplo: Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função f(x)=ln(1x) então: f(x)=11x=(1x)1 f(x)=((1x)1)=(1)(1x)2(1) pois (un)=nun1u continuando, f(x)=(1)(2)(1x)3(1)(1) f(x)=(1)(2)(3)(1x)4(1)(1)(1) Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem. Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se n1
f(n)(x)=(n1)!(1x)n ?

Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.

Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.

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