Uma dica no cálculo de derivadas de ordem $n$

Uma das causas da minha irregularidade a publicar neste blog, é que desde uns meses depois do ínicio da pandemia COVID-19 dou explicações online a uma média de 12 cadeiras por semestre sem falar das explicações ao ensino secundário
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem $n$, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.

Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem $n$, "não simplifique as contas".


Passo a explicar: se $k$ for uma constante e $f$ uma função, então a derivada de $kf$ é $k$ vezes a derivada de $f$
Então, a derivada de, por exemplo ${5 \times f \times 10}$ também é ${5 \times f' \times 10}$.



Até perceberem o padrão, deixem o $5$ e o $10$ onde estão. Não convertam para $50 f'$

Exemplo: Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função $f(x)=\ln(1-x)$ então: \[ f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \] \[ f''\left( x \right) = \left( {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \right)' = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 2} ( - 1)} \] pois \[ \left( {u^n } \right)' = nu^{n - 1} u' \] continuando, \[ f'''\left( x \right) = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 3} ( - 1)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] \[ f''''\left( x \right) = {\color{green} -}{\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)} \left( { - 3} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 4} ( - 1){\color{blue}\left( { - 1} \right)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem. Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se $n\ge 1$
\[ f^{(n)} (x) = - \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {1 - x} \right)^n }} \] ?

Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.

Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.