Uma das causas da minha irregularidade a publicar neste blog, é que desde uns meses depois do ínicio da pandemia COVID-19 dou explicações online a uma média de 12 cadeiras por semestre sem falar das explicações ao ensino secundário
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem n, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.
Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem n, "não simplifique as contas".
Passo a explicar: se k for uma constante e f uma função, então a derivada de kf é k vezes a derivada de f
Então, a derivada de, por exemplo 5×f×10 também é 5×f′×10.
Até perceberem o padrão, deixem o 5 e o 10 onde estão. Não convertam para 50f′
Exemplo:
Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função f(x)=ln(1−x)
então:
f′(x)=−11−x=−(1−x)−1
f″(x)=(−(1−x)−1)′=−(−1)(1−x)−2(−1)
pois (un)′=nun−1u′
continuando,
f‴(x)=−(−1)(−2)(1−x)−3(−1)(−1)
f⁗(x)=−(−1)(−2)(−3)(1−x)−4(−1)(−1)(−1)
Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem.
Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se n≥1
f(n)(x)=−(n−1)!(1−x)n
?
Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.
Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.
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