O Teorema fundamental do Cálculo e a regra de Leibnitz.

De há alguns anos para cá, o número de alunos que me pergunta "O que é o teorema fundamental do cálculo?" tem aumentado significativamente. Não sei se devido a excessivos powerpoints (Lamento, ler powerpoints, por mais bonitos que sejam, não é dar aulas, é perder tempo e fazer o público perder tempo...).
Mas também não ponho as mãos no fogo por toda a gente que me procura.

O teorema diz simplesmente que, num conjunto onde as coisas que constam da fórmula estão bem definidas (e fazem sentido), é válida a fórmula

$$\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = f(x)$$  

Claro que se combinarmos isto com a regra de derivação da função composta, sai isto:

 

$$\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime   = f(\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right)$$

Mas, dá para generalizar, e deduzir versões mais complicadas. 

Por exemplo e se for este?

$$\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {x,t} \right)dt} } \right)$$

Também se deduz.

Começamos por definir: 

$$I(x,z) = \int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy}$$

Calcular

$$\frac{{\partial I}}{{\partial x}}(x,z) = \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy} } \right) = f\left( {z,x} \right)$$

e

$$\frac{{\partial I}}{{\partial z}}(x,z) = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy}  = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)\frac{{\partial x}}{{\partial z}}dy}  = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy}$$

E finalmente fazer

$$\frac{d}{{dx}}\int\limits_a^x {f\left( {x,y} \right)dy}  = \frac{d}{{dx}}I(x,x) = \frac{{\partial I}}{{\partial x}} + \frac{{\partial I}}{{\partial z}}\frac{{\partial x}}{{\partial x}} = f\left( {x,x} \right) + \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}$$

Se percebeu este exemplo, espero que consiga chegar a este:

$$\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)dy} } \right)^\prime   = f(x,\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(x,\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right) + \int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}$$

Por hoje é tudo.