13/06/2023

"A" Igualdade de Bézout? UMA igualdade de Bézout.

 Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
 Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.

O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais a e b, se d=mdc(a,b), então existem inteiros x e y tais que 
ax+by=d



E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.

Por exemplo mdc(21,30)=3
e 21×3+30×(2)=321×13+30×(9)=321×23+30×(16)=321×33+30×(23)=321×43+30×(30)=3

São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
(x,y)=(3+10s,27s);sZ

tornam a igualdade
21x+30y=3
numa proposição verdadeira.

Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais (a,b)?

Basta resolver a equação diofantina linear

ax+by=mdc(a,b)


Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
 Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)

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