"A" Igualdade de Bézout? UMA igualdade de Bézout.

 Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
 Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.

O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais $a$ e $b$, se $d=mdc(a,b)$, então existem inteiros $x$ e $y$ tais que 
\[ax+by=d\]

E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.

Por exemplo \[mdc(21,30)=3\]e \begin{eqnarray*} {21\times 3+30\times (-2)}&{=}&{3}\\ {21\times 13+30\times (-9)}&{=}&{3}\\ {21\times 23+30\times (-16)}&{=}&{3}\\ {21\times 33+30\times (-23)}&{=}&{3}\\ {21\times 43+30\times (-30)}&{=}&{3} \end{eqnarray*}
São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
\[(x,y)=(3+10s,-2-7s) ; s\in\Z\]
tornam a igualdade
\[21x+30y=3\] numa proposição verdadeira.

Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais $(a,b)$?

Basta resolver a equação diofantina linear

\[ax+by=mdc(a,b)\]

Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
 Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)