Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.
O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais a e b, se d=mdc(a,b), então existem inteiros x e y tais que
ax+by=d
E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.
Por exemplo mdc(21,30)=3
São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
(x,y)=(3+10s,−2−7s);s∈Z
tornam a igualdade
21x+30y=3
Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais (a,b)?
Basta resolver a equação diofantina linear
ax+by=mdc(a,b)
Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)