13/06/2023

"A" Igualdade de Bézout? UMA igualdade de Bézout.

 Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
 Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.

O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais a e b, se d=mdc(a,b), então existem inteiros x e y tais que 
ax+by=d



E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.

Por exemplo mdc(21,30)=3
e 21×3+30×(2)=321×13+30×(9)=321×23+30×(16)=321×33+30×(23)=321×43+30×(30)=3

São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
(x,y)=(3+10s,27s);sZ

tornam a igualdade
21x+30y=3
numa proposição verdadeira.

Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais (a,b)?

Basta resolver a equação diofantina linear

ax+by=mdc(a,b)


Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
 Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)

09/06/2023

O Teorema fundamental do Cálculo e a regra de Leibnitz.

De há alguns anos para cá, o número de alunos que me pergunta "O que é o teorema fundamental do cálculo?" tem aumentado significativamente. Não sei se devido a excessivos powerpoints (Lamento, ler powerpoints, por mais bonitos que sejam, não é dar aulas, é perder tempo e fazer o público perder tempo...).
Mas também não ponho as mãos no fogo por toda a gente que me procura.

O teorema diz simplesmente que, num conjunto onde as coisas que constam da fórmula estão bem definidas (e fazem sentido), é válida a fórmula

ddx(xaf(t)dt)=f(x)

 

Claro que se combinarmos isto com a regra de derivação da função composta, sai isto:

  (ψ(x)φ(x)f(t)dt)=f(ψ(x))ψ(x)f(φ(x))φ(x)


Mas, dá para generalizar, e deduzir versões mais complicadas. 

Por exemplo e se for este?

ddx(xaf(x,t)dt)


Também se deduz.

Começamos por definir: 

I(x,z)=xaf(z,y)dy


Calcular

Ix(x,z)=ddx(xaf(z,y)dy)=f(z,x)


e

Iz(x,z)=xaz(f(z,y))dy=xax(f(z,y))xzdy=xax(f(z,y))dy

E finalmente fazer

ddxxaf(x,y)dy=ddxI(x,x)=Ix+Izxx=f(x,x)+xax(f(x,y))dy



Se percebeu este exemplo, espero que consiga chegar a este:

(ψ(x)φ(x)f(x,y)dy)=f(x,ψ(x))ψ(x)f(x,φ(x))φ(x)+ψ(x)φ(x)x(f(x,y))dy



Por hoje é tudo.