Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.
O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais $a$ e $b$, se $d=mdc(a,b)$, então existem inteiros $x$ e $y$ tais que
\[ax+by=d\]
E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.
Por exemplo \[mdc(21,30)=3\]e
\begin{eqnarray*}
{21\times 3+30\times (-2)}&{=}&{3}\\
{21\times 13+30\times (-9)}&{=}&{3}\\
{21\times 23+30\times (-16)}&{=}&{3}\\
{21\times 33+30\times (-23)}&{=}&{3}\\
{21\times 43+30\times (-30)}&{=}&{3}
\end{eqnarray*}
São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
\[(x,y)=(3+10s,-2-7s) ; s\in\Z\]
tornam a igualdade
\[21x+30y=3\] numa proposição verdadeira.
Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais $(a,b)$?
Basta resolver a equação diofantina linear
\[ax+by=mdc(a,b)\]
Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)
13/06/2023
"A" Igualdade de Bézout? UMA igualdade de Bézout.
09/06/2023
O Teorema fundamental do Cálculo e a regra de Leibnitz.
De há alguns anos para cá, o número de alunos que me pergunta "O que é o teorema fundamental do cálculo?" tem aumentado significativamente. Não sei se devido a excessivos powerpoints (Lamento, ler powerpoints, por mais bonitos que sejam, não é dar aulas, é perder tempo e fazer o público perder tempo...).
Mas também não ponho as mãos no fogo por toda a gente que me procura.
O teorema diz simplesmente que, num conjunto onde as coisas que constam da fórmula estão bem definidas (e fazem sentido), é válida a fórmula
\[ \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = f(x) \]
Claro que se combinarmos isto com a regra de derivação da função composta, sai isto:
\[
\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime = f(\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right)
\]
Mas, dá para generalizar, e deduzir versões mais complicadas.
Por exemplo e se for este?
\[
\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {x,t} \right)dt} } \right)
\]
Também se deduz.
Começamos por definir:
\[
I(x,z) = \int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy}
\]
Calcular
\[
\frac{{\partial I}}{{\partial x}}(x,z) = \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy} } \right) = f\left( {z,x} \right)
\]
e
\[
\frac{{\partial I}}{{\partial z}}(x,z) = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy} = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)\frac{{\partial x}}{{\partial z}}dy} = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy}
\]
E finalmente fazer
\[
\frac{d}{{dx}}\int\limits_a^x {f\left( {x,y} \right)dy} = \frac{d}{{dx}}I(x,x) = \frac{{\partial I}}{{\partial x}} + \frac{{\partial I}}{{\partial z}}\frac{{\partial x}}{{\partial x}} = f\left( {x,x} \right) + \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}
\]
Se percebeu este exemplo, espero que consiga chegar a este:
\[
\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)dy} } \right)^\prime = f(x,\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(x,\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right) + \int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}
\]
Por hoje é tudo.