Enquanto esperam os textos sobre cónicas, tomem um exercício com cones.
Este tamém veio do facebook, mas não consigo descobrir a fonte original (se alguém souber que me envie)
Temos um cone. O volume azul da primeira figura é igual ao azul da segunda, e as duas representam o mesmo cone. Qual é a altura do cone?
\[1+\sqrt{85} \text{ cm}\]
Neste tipo de problemas, um esquema, e juntar algumas letras ajuda sempre. No esquema todas as medidas estão em centímetros.
Como consequẽncia da semelhança de triângulos (justifique essa semelhança) temos:
\[
\frac{H}{R} = \frac{8}{r} = \frac{{H - 2}}{a}
\]
Portanto, $r = \frc{{8R}}{H}$ e $a = \left( {H - 2} \right) \cdot \frac{R}{H}$.
Por outro lado a igualdade de volumes escreve-se matematicamente desta forma: \begin{eqnarray*} {}&{}&{\frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi a^2 \left( {H - 2} \right)} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \cdot 8^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} = \frac{1}{3}\pi \left( {H - 2} \right)^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H^3 - 8^3 } \right) = \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 8^3 = \left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 512 = H^3 - 6H^2 + 12H - 8 \\ &\Leftrightarrow& 6H^2 - 12H + 504 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H^2 - 2H + 84 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H = 1 \pm \sqrt {1 + 84} = 1 \pm \sqrt {85} \\ \end{eqnarray*} Como $H$ é a altura do cone tem de ser positiva, logo \[H = 1 + \sqrt {85} \]
Por outro lado a igualdade de volumes escreve-se matematicamente desta forma: \begin{eqnarray*} {}&{}&{\frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi a^2 \left( {H - 2} \right)} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \cdot 8^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} = \frac{1}{3}\pi \left( {H - 2} \right)^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H^3 - 8^3 } \right) = \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 8^3 = \left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 512 = H^3 - 6H^2 + 12H - 8 \\ &\Leftrightarrow& 6H^2 - 12H + 504 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H^2 - 2H + 84 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H = 1 \pm \sqrt {1 + 84} = 1 \pm \sqrt {85} \\ \end{eqnarray*} Como $H$ é a altura do cone tem de ser positiva, logo \[H = 1 + \sqrt {85} \]
Vi esse problema num grupo de Matemática mas já era uma republicação. Pensei que se adequasse a um 9° ano. O conteúdos estão lá mas a Álgebra é um pouco abstracta para a idade.
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