Algumas observações sobre 'a' sucessão de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci é definida pela fórmula de recorrência \[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \] e por duas condições iniciais, que, cuidado, nem sempre são as mesmas.
A expressão geral para a recorrência é \[ F_{n}=C_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+C_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]

\[F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0\] A equação característica associada é \[r^2-r-1=0\] Que tem como zeros \[r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

---

Os valores de $C_1$ e $C_2$ dependem dos valores das condições iniciais.
Note-se que $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$ é o número de ouro, que também nos permite escrever a fórmula de outras formas

Condições iniciais	Algumas fórmulas explícitas	Em função de $\Phi$	$n \in $
\[F_0=1\]\[F_1=1\]	\begin{eqnarray*} {F_{n}}&=&{\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}\\ {F_{n}}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]} \end{eqnarray*}	\[F_n=\frac{\Phi^{n+1}+\left(-1\right)^n\Phi^{-n-1}}{\sqrt{5}}\] \[F_n = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( {\Phi ^{n + 1} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\Phi ^{n + 1} }}} \right)\]	\[\N_0\]
\[F_0=0\]\[F_1=1\]	\begin{eqnarray*} {F_{n}}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}\\ {F_{n}}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]} \end{eqnarray*}	\[F_n=\frac{\Phi^{n}+\left(-1\right)^{n-1}\Phi^{-n}}{\sqrt{5}}\] \[F_n = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( {\Phi ^{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^{n-1} }}{{\Phi ^{n } }}} \right)\]	\[\N_0\]
\[F_1=1\]\[F_2=1\]	\begin{eqnarray*} {F_{n}}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}\\ {F_{n}}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]} \end{eqnarray*}	\[F_n=\frac{\Phi^{n}+\left(-1\right)^{n-1}\Phi^{-n}}{\sqrt{5}}\] \[F_n = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( {\Phi ^{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^{n-1} }}{{\Phi ^{n} }}} \right)\]	\[\N_1\]
\[F_1=0\]\[F_2=1\]	\begin{eqnarray*} {F_{n}}&=&{\left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n} \end{eqnarray*}	\[F_n=\frac{\Phi^{n-1}+\left(-1\right)^n\Phi^{-n+1}}{\sqrt{5}}\] \[F_n = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\left( {\Phi ^{n-1} + \frac{{\left( { - 1} \right)^{n} }}{{\Phi ^{n-1} }}} \right)\]	\[\N_1\]

Por vezes até generalizam-se os números de Fibonacci a argumentos negativos, recorrendo a estas fórmulas ou à fórmula de recorrência.

---

Existindo várias fórmulas associadas a números de Fibonacci, é sempre conveniente saber a que versão da sucessão essas fórmulas estão associadas, por forma a evitar erros nos resultados.

---

Nota
Esta página poderá ser actualizada no futuro.