Integração por substituição: seno hiperbólico(II) Integração por substituição: tangente(I)
Exercício
Calcular o integral
√3∫11x2√1+x2dx
Recorrendo à substituição: x=tgt ou x=sht
(Nota: sh é uma notação para seno hiperbólico ... também se representa por sinh )
3√2−2√33
Fazendo a substituição x=sht temos,
t=argshxx=1⇒t=argsh(1)x=√3⇒t=argsh(√3)
e dxdt=cht
Portanto
√3∫11x2√1+x2dx=argsh√3∫argsh11sh2t√1+sh2tchtdt=argsh√3∫argsh11sh2tdt=argsh√3∫argsh1cosech2tdt=[−cotght]argsh√3argsh1=[−chtsht]argsh√3argsh1=[−√1+sh2tsht]argsh√3argsh1=−2√3+√2=3√2−2√33
Fazendo a substituição x=tgt, com t∈]−π2,π2[ temos,
t=arctgxx=1⇒t=π4x=√3⇒t=π3
e dxdt=sec2t
Portanto
√3∫11x2√1+x2dx=π3∫π41tg2t√1+tg2tsec2tdt=π3∫π4sec2tsen2tsec2tsectdt=π3∫π41sen2tsectdt=π3∫π4costsen2tdt=π3∫π4cotgtcosectdt=[−cosect]π3π4=−cosecπ3+cosecπ4=−2√3+√2=3√2−2√33
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