Considere todos os números naturais com quinze algarismos que são constituídos apenas por $3$ e/ou $8$ (por exemplo $333333338888888$ ou $333333333333333$)
Quantos destes números são divisíveis por $11$?
Seja \[N=\overline{a_{15}a_{14}a_{13}...a_{3}a_{2}a_{1}}\] O número $N$ é divisível por $11$ sse o módulo da diferença entre a soma dos algarismos de ordem impar e a soma dos algarismos de ordem par é um múltiplo de $11$.
Por outras palavras, no nosso caso, se \[ \left|S_i-S_p\right|=\dot {11} \] onde $S_i=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11}+a_{13}+a_{15}$ (uma soma com oito parcelas)
e $S_p=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}+a_{14}$ (uma soma com sete parcelas)
Nas condições do enunciado, o valor mínimo para $S_i$ obtem-se quando cada uma das oito parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$.
Assim sendo: \[ 3\times 8\leq S_i \leq 8\times 8 \] Ou seja \[ 24\leq S_i \leq 64 \] Procede-se da mesma forma para $S_p$, ou seja, o valor mínimo para $S_p$ obtem-se quando cada uma das sete parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$ . ( Digam lá que copy-paste não dá jeito a escrever Matemática )
Assim sendo: \[ 3\times 7\leq S_p \leq 8\times 7 \] Ou seja \[ 21\leq S_p \leq 56 \] O valor seguinte possível para $S_p$ é $26$ que corresponde a substituir um $3$ por um $8$ (observe-se que $21-3+8=26$)
O seguinte é $31$, pela mesma razão...
Vemos assim que $S_p=21+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem par.
Ou seja, os possíveis valores para $S_p$ são $21,26,31,36,41,46,51,56$.
Da mesma forma $S_i=24+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem impar.
Então, os possíveis valores para $S_p$ são $24,29,34,39,44,49,54,59,64$.
Se $S_p=21$, para que $S_i-S_p$ seja múltiplo de $11$, o único valor possível para $S_i$ de entre os valores disponíveis é $54$
(pois $54-21=33=3\times 11$)
As fórmulas que dão os $S_p$ e os $S_i$ são de progressões aritméticas de razão $5$.
Então, partindo do par ordenado $(S_p,S_i)=(21,54)$ conseguem-se obter mais dois pares:
\[(26,59) \text{ e } (31,64)\]
Como $64$ é o valor máximo possível para $S_i$, para obter mais pares vamos repetir o processo, mas desta vez começando pelo valor mais baixo possível para $S_i$
Se $S_i=24$, o único valor possível para $S_p$ é $46$.
E tal como anteriormente, partindo deste par ordenado de somas $(S_p,S_i)=(46,24)$ obtêm-se mais duas:
\[(51,29) \text{ e } (56,34)\]
. Como $56$ é o valor máximo possível para $S_p$, obtivemos todos os pares possíveis de somas $(S_p,S_i)$.
| $(S_p,S_i)$ | Número de 8s em ordem par | Número de 8s em ordem impar | Total de números |
|---|---|---|---|
| $(21,54)$ | 0 | 6 | $\combin{7}{0}\times \combin{8}{6}=\combin{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=4\times7=28$ |
| $(26,59)$ | 1 | 7 | $\combin{7}{1}\times \combin{8}{7}=7\times8=56$ |
| $(31,64)$ | 2 | 8 | $\combin{7}{2}\times \combin{8}{8}=\frac{7\times6}{2}\times1=7\times 3=21$ |
| $(46,24)$ | 5 | 0 | $\combin{7}{5}\times \combin{8}{0}=\combin{7}{2}\times \combin{8}{8}=21$ |
| $(51,29)$ | 6 | 1 | $\combin{7}{6}\times \combin{8}{1}=\combin{7}{1}\times \combin{8}{7}=56$ |
| $(56,34)$ | 7 | 2 | $\combin{7}{7}\times \combin{8}{2}=\combin{7}{0}\times \combin{8}{6}=28$ |
| Total= | $2\times (28+56+21)=2\times105=210$ | ||
As contagens conseguem ser feitas sem ser necessário recorrer a combinatória...
Problema colocado originalmente no projecto Delfos. (ok... é melhor não resolver muitos problemas deles aqui..)
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