Critério de divisibilidade por 11

Teorema
Um número é divisível por $11$ se o módulo da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for divisível por $11$.

---

Seja $$N=\overline{a_{m}a_{m-1}...a_{3}a_{2}a_{1}}=\sum\limits_{k = 1}^m {\left( {a_k \cdot 10^{k - 1} } \right)}$$ um número natural com $m$ algarismos divisível por $11$.
Considere-se o polinómio de grau $m-1$ na variável $x$. $$P(x) = \sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot x^{k - 1} }$$ então $N=P(10)$. Como $10\equiv (-1) \Mod{11}$, então $$P(10)\equiv P(-1) \Mod{11}$$ Ora, $$P(-1)=\sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot (-1)^{k - 1} }=S_i-S_p$$ Onde $S_i=$ soma dos algarismos de ordem ímpar e $S_p=$ soma dos algarismos de ordem par.
Logo $$N\equiv (S_i-S_p) \Mod{11}$$ Sendo $N$ divisível por $11$ temos então $$N\equiv 0 \Mod{11}$$ e então $$S_i-S_p\equiv 0 \Mod{11}$$ Que é naturalmente equivalente a $$|S_i-S_p|\equiv 0 \Mod{11}$$ e equivalente a dizer que $|S_i-S_p|$ é divisível por $11$

$\blacksquare$

---

Notas :

• Na verdade o módulo do teorema é dispensável!
• Considera-se $0$ divisível por $11$ ... e por qualquer número diferente de $0$

---